задача из Хартсхорна

[tymur]

Всем добрый вечер! Начал изучать алг. геом. Помогите, пожалуйста, разобраться, как решать задачку!

Пусть $X\subset \mathbb A^3$--множество точек вида $(t,t^2,t^3)$. Покажите, что $X$ алгебраическое множество и найдите систему образующих идеала $I(X)$. Покажите, что $X$ изоморфно $\mathbb A^1$.

Спасибо!

[apriv]

tymur в сообщении #682524 писал(а):

Пусть $X\subset \mathbb A^3$--множество точек вида $(t,t^2,t^3)$. Покажите, что $X$ алгебраическое множество и найдите систему образующих идеала $I(X)$. Покажите, что $X$ изоморфно $\mathbb A^1$.

Знаете ли Вы какие-нибудь простенькие многочлены от трех переменных, обращающиеся в нуль на множестве $X$? Подберите несколько из них, а потом докажите, что они порождают весь идеал $I(X)$. Про изоморфизм, думаю, понятно, как доказывать после этого.

[tymur]

Спасибо за помощь! Я только начал изучать алгебраическую геометрию и пока не очень понимаю что к чему. Объясните, пожалуйста, поподробней, если не сложно.

[apriv]

tymur в сообщении #685346 писал(а):

Спасибо за помощь! Я только начал изучать алгебраическую геометрию и пока не очень понимаю что к чему. Объясните, пожалуйста, поподробней, если не сложно.

Куда уж поподробней? Что означает запись $I(X)$? Что это за идеал такой? Найдите в нем какие-нибудь элементы небольшой степени и попробуйте доказать, что это система образующих. Что такое изоморфизм многообразий?

[tymur]

Взял такие многочлены $xy-z=0; xz-y^2=0; yz-x^5=0$. Не получается доказать, что они образующие $I(X)$. Это вообще верно? Спасибо!

[apriv]

Слишком сложные многочлены, два последних особенно. Ищите проще!

[tymur]

Брал еще такие многочлены $2z^2-y^3-x^6=0,2y^3-z^2-x^6=0,2x^6-y^3-z^2=0$, но у них есть и другие решения. Подскажите, пожалуйста!

[apriv]

Ужас-то какой. Чем Вам многочлен $x^2-y$ не нравится, например?

[tymur]

А такие многочлены подойдут $x^2-y=0, x^3-z=0, y^3-z^2=0$?

-- 20.02.2013, 22:32 --

И как вообще можно доказать, что какие-то многочлены порождают все, зануляющиеся в данных точках?

[apriv]

tymur в сообщении #686371 писал(а):

А такие многочлены подойдут $x^2-y=0, x^3-z=0, y^3-z^2=0$?

Если $y=x^2$ и $z=x^3$, отсюда, наверное, следует, что $y^3=z^2$, правда ведь? Так что третий лишний, а первых двух должно хватить.

Цитата:

И как вообще можно доказать, что какие-то многочлены порождают все, зануляющиеся в данных точках?

Буквально — если какой-то многочлен $f$ от трех переменных $x,y,z$ при подстановке $x\mapsto t$, $y\mapsto t^2$, $z\mapsto t^3$ обращается в нуль, хочется доказать, что он лежит в идеале, порожденном Вашими двумя многочленами. Вот взяли такой многочлен; по модулю этого идеала можно заменять $y$ на $x^2$ и $z$ на $x^3$. Ну и вперед.

[tymur]

Спасибо Вам огромное. С системой порождающих разобрался, но не получается построить изоморфизм соответствующих колец (для $\mathbb A^1$ и $X$). Буду очень благодарен за помощь!

[apriv]

Выпишите, что за кольца получились. Неформально — как я и писал выше, в кольце Вашего многообразия можно заменять $y$ на $x^2$ и $z$ на $x^3$; к какому виду такими заменами можно привести произвольный многочлен от $x,y,z$? Однозначно ли представление многочлена по модулю упомянутого идеала в таком виде? На основе можно сформулировать гипотезу, как должен выглядеть явный изоморфизм; нужно лишь корректно построить его (указать образы образующих) и проверить, что это изоморфизм.