Теплицев оператор

[shwedka]

Capella писал(а):

Я не понимаю, а что мешает Вам в таком случае оперировать 0-функцией? У Вас она по определению гладкая в $ \mathbb C^\infty $ с компактным носителем - она, как Вы уже сказали, и будет равняться 0. Но опертор проекции определён как $ f\circ f \to f $. Ну и ладненько, отобразим 0-функцию на 0-функция, получаем привиальный случай. Вообще с 0-функцией там не всё так интересно, но похоже, не получите всё-же другого, т.к. функция всё-таки голоморфна, причём в $ \mathbb C^\infty $, поскольку она гладкая

вы , действительно, не понимаете. доказать надо не для выбранной функции, а для всех: оператор может быть конечного ранга ТОЛЬКО если функция нулевая. А для всех остальных бесконечного ранга.

[Capella]

так при Ваших условиях, у Вас других нет, т.е. других функций нет. У Вас должны выполнятся как гладкость, так и условие компакного носителя

[shwedka]

Capella писал(а):

так при Ваших условиях, у Вас других нет

Да почему нет!!!
$f(z)$ произвольная гладкая функция с компактным носителем в круге. НЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ!!! Таких полно!!

[Capella]

shwedka писал(а):

Capella писал(а):

так при Ваших условиях, у Вас других нет

Да почему нет!!!
$f(z)$ произвольная гладкая функция с компактным носителем в круге. НЕ АНАЛИТИЧЕСКАЯ!!! Таких полно!!

Я как раз этого не понимаю. Вполне допускаю, что чего-то недопонимаю в Ваших рассуждениях. Давайте вместе разберёмся, я Вам сейчас задам вопрос: Вы говорите в условии задачи, что Ваша функция должна быть гладкой и с компактным носителем. Давайте сравним определения: как я уже писала, под гладкой функцией, я понимаю такую, которая $ \infty $-раз дифференцируема, причём в нашем случае это будет $ \mathbb C^\infty $. Отсюда мы получаем, что функция должна быть голоморфна (поскольку мы находимся в $ \mathbb C $). Это есть другое название, для "аналитическая". Но Вы сами говорите теперь, что ищите не аналитическую функцию. Может я конечно что-то неправильно понимаю, но по моему здесь противоречие.
Теперь Вы ссылаетесь на компактный носитель (вопрос по поводу 0-функции), я не понимаю, в каком смысле это связано здесь с дифференцируемостью Вашей функции? Компактный носитель только ограничит Вашу функцию на какую-то область (давайте сравним и это понятие, может быть мы его по разному толкуем, даже допускаю, что я не права, т.к.учила это на иностранном языке и в российских понятиях не сильна. Хотя здесь вроде сё просто..). Причём, по моему там есть теорема, которая гласит, что Ваша функция будет равняться 0 либо всей области определения, в данном случае, надо понимать $ D $
При этом я допускаю, что с компактным носителем Ваша функция будет 0-функция (ну здесь и Вы должны быть со мной согласны).

[shwedka]

Функция должна быть дифференцируема как функция двух вещесетвенных переменных!
Никакой голоморфности отсюда не следует.

[Capella]

Да, такое возможно. Блина, чтобы тогда придумать-то...

[Аурелиано Буэндиа]

shwedka писал(а):

Может, задача и посерьезнее, чем на форуме принято, но все же заела она меня очень.
Пусть $H$ -гильбертово пространство $L_2(D), \; D$единичный круг в комплексной плоскости, относительно лебеговой меры. Далее,
$G$ замкнутое подпространство в $H$ , состоящее из аналитических функций, $P$ проектор на него из $H$. Пусть далее $f(z)$ - гладкая функция с компактным носителем в $D$ . Ей сопоставляется оператор $T_f, T_fu=Pfu$ в $H$ . Доказать или опровергнуть: если $T_f$ конечного ранга, то он нулевой.

И всё-таки непонятно. Давайте прояснять на примерах. Рассмотрим
$G=\{cg(z)|c\in \mathbb{C}\}$, где $g(z)$ функция удовлетворяющая вашим условиям. Дальше рассмотрим оператор
$T_f: u -> g(z)\int\int dxdy\, g(x+iy)f(x+iy)u$. Ну ясно , что этот оператор конечного ранга (ранг равен 1 по построению). Кроме этого он не нулевой (это тоже очевидно). Какие условия я не учёл?

[shwedka]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

shwedka писал(а):

Может, задача и посерьезнее, чем на форуме принято, но все же заела она меня очень.
Пусть $H$ -гильбертово пространство $L_2(D), \; D$единичный круг в комплексной плоскости, относительно лебеговой меры. Далее,
$G$ замкнутое подпространство в $H$ , состоящее из аналитических функций, $P$ проектор на него из $H$. Пусть далее $f(z)$ - гладкая функция с компактным носителем в $D$ . Ей сопоставляется оператор $T_f, T_fu=Pfu$ в $H$ . Доказать или опровергнуть: если $T_f$ конечного ранга, то он нулевой.

И всё-таки непонятно. Давайте прояснять на примерах. Рассмотрим
$G=\{cg(z)|c\in \mathbb{C}\}$, где $g(z)$ функция удовлетворяющая вашим условиям. Дальше рассмотрим оператор
$T_f: u -> g(z)\int\int dxdy\, g(x+iy)f(x+iy)u$. Ну ясно , что этот оператор конечного ранга (ранг равен 1 по построению). Кроме этого он не нулевой (это тоже очевидно). Какие условия я не учёл?

$G$ подпространство ВСЕХ аналитических функций в $H$, оно бесконечномерно,
а Вы рассмаятриваете не все, а только одну.
Если бы проектор был на конечномерное подпространство, то и задачи бы и не было. Проблема в том, что, умножая на функцию, а потом проектируя на бесконечномерное подпространство, мы получаем только конечномерный образ, и нужно доказать, что такого быть не может.
Повторяю, нужно доказать это для оператора $PfP$. в исходном варианте, с $Pf$ менее интересно.

[Capella]

shwedka писал(а):

а Вы рассмаятриваете не все, а только одну.
Если бы проектор был на конечномерное подпространство, то и задачи бы и не было. Проблема в том, что, умножая на функцию, а потом проектируя на бесконечномерное подпространство, мы получаем только конечномерный образ, и нужно доказать, что такого быть не может.
Повторяю, нужно доказать это для оператора $PfP$. в исходном варианте, с $Pf$ менее интересно.

Ну а как-же все-то одновременно рассмотреть? Аурелиано Буэндиа берёт любую и рассматривает как частный случай... Кроме того, если проекция в любом случае даёт конечномерный образ, то как-же задать бесконечномерный?

[Аурелиано Буэндиа]

Capella писал(а):

shwedka писал(а):

а Вы рассмаятриваете не все, а только одну.
Если бы проектор был на конечномерное подпространство, то и задачи бы и не было. Проблема в том, что, умножая на функцию, а потом проектируя на бесконечномерное подпространство, мы получаем только конечномерный образ, и нужно доказать, что такого быть не может.
Повторяю, нужно доказать это для оператора $PfP$. в исходном варианте, с $Pf$ менее интересно.

Ну а как-же все-то одновременно рассмотреть? Аурелиано Буэндиа берёт любую и рассматривает как частный случай... Кроме того, если проекция в любом случае даёт конечномерный образ, то как-же задать бесконечномерный?

Не, она права. Она рассматривает G как подпространство ВСЕХ аналитических функций. Чтобы задать такой проектор P (который её интересует) нужно проектировать не на одну, а сразу на бесконечное количество аналитических функций.

[shwedka]

Задача, конечно, серьезнее, чем принято на форуме. Было несколько ошибочных публикаций, даже в серьезных журналах.
Что я знаю (могу)
1. Если $PfP=0$ то $f=0$. доказательсtво в 5 строк.
2. если ранг $PfP$ равен единице, то $f=0$. Доказательство на страницу.
3. Если функция зависит только от $|z|$ и ранг $PfP$ конечен, то $f=0$. доказательство на 5 страниц.
4. Если $R$ -максимум расстояний от нуля до точек носителя $f$
и функция $f(re^{i\theta})$ -вещественно аналитическая по $\theta$
при $r$ близких к $R$ и ранг $PfP$ конечен, то $f=0$. доказательство на 7 страниц.

- все это не выходя из университетского курса комплексной переменной.
Кроме того,
Если у внешней границы носителя функции есть полоска, где функция положительна, и ранг $PfP$ конечен, то $f=0$. доказательство на 5 страниц, с использованием продвинутого функанализа

есть и другие, более изощренные случаи. которые коротко не описать.

Что забавно, если отказаться от условия компактности носителя, то есть контрпример.

Так что задача требует уважения.

[Егор]

Как эффективно описать проектор P в данной ситуации? Как доказывается нужное утверждение для случая, когда ранг равен 1? Пожалуйста, выложите доказательство в pdf или пришлите мне по почте (emaximen на mail.ru).

P. S. Более привычны операторы Тёплица не в открытом единичном круге, а на единичной окружности (см., например, учебники Халмоша и Мёрфи). Для таких операторов основные проблемы решены в середине XX века.

[shwedka]

Егор писал(а):

Как эффективно описать проектор P в данной ситуации? Как доказывается нужное утверждение для случая, когда ранг равен 1? Пожалуйста, выложите доказательство в pdf или пришлите мне по почте (emaximen на mail.ru).

P. S. Более привычны операторы Тёплица не в открытом единичном круге, а на единичной окружности (см., например, учебники Халмоша и Мёрфи). Для таких операторов основные проблемы решены в середине XX века.

Проектор это интегральный оператор с ядром $P(z,w)=C(1-z\overline{w})^{-2}$
другими словами, проектор Бергмана. Да, имеется 2 вида теплицевых операторов, типа СЕГЕ, как Вы пишете, он даже компактным быть не может, и типа Бергмана, какл у меня, про него известно меньше, но см книгу Хеденмальма, Коренблюма и Жу о пространствах Бергмана. Там много чего о таких оператрорах.
доказательство выслала мылом.

Я в отъезде на неделю. Продолжу обсуждение, когда вернусь.

[Егор]

Спасибо за ответ. Книжки в электронном виде не нашёл, но определение пространства Бергмана и теорема об интегральном представлении проектора в сети есть. Почему-то не получил письма (то ли сервера глючат, то ли кто-то из нас перепутал адрес). Неплохо, если Вы выложите доказанные утверждения где-нибудь на http (например, на webfile.ru).

[shwedka]

Егор писал(а):

Спасибо за ответ. Книжки в электронном виде не нашёл, но определение пространства Бергмана и теорема об интегральном представлении проектора в сети есть. Почему-то не получил письма (то ли сервера глючат, то ли кто-то из нас перепутал адрес). Неплохо, если Вы выложите доказанные утверждения где-нибудь на http (например, на webfile.ru).

послала частное сообщение с доказательством. Книга есть в

http://lib.mexmat.ru/books/4334
http://lib.homelinux.org/M_Mathematics/
MC_Calculus/MCat_Advanced%20calculus/Hedenmalm%20H.,%20Korenblum%20B.,%20Zhu%20K.%20Theory%20of%20Bergman%20spaces%20(Springer,%202000)(K)(600dpi)(T)(299s)_MCat_.djvu