теория групп

[Sherpa]

Нужно доказать следующий факт:
G-группа порядка 2k h-её подгруппа порядка k д! Квадраты всех элементов g принадлежат h
От чего хотя бы отталкиваться в доказательстве??

[Brukvalub]

Sherpa писал(а):

От чего хотя бы отталкиваться в доказательстве??

От противного.

[Sherpa]

а вот если я так скажу:
если взять любой элемент, то он будет, либо квадратом, либо ещё чем-то... квадратов не может быть больше половины => всё хорошо...
это верно?

[Brukvalub]

Если квадрат элемента не принадлежит подгруппе, то и сам элемент ей не принадлежит, на основе этого соображения продолжите Вашу идею.

[Sherpa]

Разве два эти соображения уже не являются достаточным доказательством??
Мы вроде рассмотрели все элементы.
Получается, что квадратов у нас будет всегда не более чем к. Или я что-то путаю?

[Brukvalub]

Не путаете, утв. доказано.

[Sherpa]

спасибо)))

[RIP]

Я бы рассуждал так. $H$ --- подгруппа индекса 2, следовательно, нормальна (для док-ва надо рассмотреть разбиения группы $G$ на левые и правые смежные классы). Соответствующая фактор-группа есть группа порядка 2, отсюда следует утверждение.

[Sherpa]

у меня вот ещё с какой задачей возник вопрос:
G множество всех вещественных чисел отличных от -1
Доказать g группа относительно операции a*b=ab+a+b
Какой из известных групп она изоморфна?

Каким образом вообще проводить доказательство?
И изоморфна она будет какой-нибудь группе комплексных чисел?

[bot]

Подсказка: $ab+a+b=(a+1)(b+1)-1$
Эта группа изоморфна группе биекций вида $x \rightarrow (a+1)x+a$ множества $R$ с выколотой точкой $-1$.
Хм, чем же она известна?

[Sherpa]

спасибо...
то что группа доказал.
(a+1) 0
0 1
а такая матрица, нет?

и почему в ответе а-константа???
если я правильно понял задание, то а и б это не константы

[RIP]

Пользуясь подсказкой botа, легко видеть, что эта группа изоморфна группе $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ ненулевых вещественных чисел относительно умножения. Не знаю, правда, насколько она "известна".

[bot]

RIP писал(а):

Эта группа изоморфна группе ненулевых вещественных чисел относительно умножения.

bot писал(а):

Хм, чем же она известна?

Совсем не подумавши был, что играют только коэффициенты (a+1) при x.

[Sherpa]

появилась ещё задача.

G группа вещественных функций вида

$$u(a,b)(\alpha)=\alpha*a+b$$

относительно суперпозиции

Является ли нормальным делителем в G множество

$${u(a,a^{-1}) | a\in \mathbb{R} , a\neq 0}$$

[Brukvalub]

Сначала проверьте, является ли это множество группой.