2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 теория групп
Сообщение04.06.2007, 10:08 
:?:
Нужно доказать следующий факт:
G-группа порядка 2k h-её подгруппа порядка k д! Квадраты всех элементов g принадлежат h
От чего хотя бы отталкиваться в доказательстве??

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 10:51 
Аватара пользователя
Sherpa писал(а):
От чего хотя бы отталкиваться в доказательстве??
От противного.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 10:53 
а вот если я так скажу:
если взять любой элемент, то он будет, либо квадратом, либо ещё чем-то... квадратов не может быть больше половины => всё хорошо...
это верно?

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 11:00 
Аватара пользователя
Если квадрат элемента не принадлежит подгруппе, то и сам элемент ей не принадлежит, на основе этого соображения продолжите Вашу идею.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 11:04 
Разве два эти соображения уже не являются достаточным доказательством??
Мы вроде рассмотрели все элементы.
Получается, что квадратов у нас будет всегда не более чем к. Или я что-то путаю?

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 11:07 
Аватара пользователя
Не путаете, утв. доказано.

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 11:09 
спасибо)))

 
 
 
 
Сообщение04.06.2007, 18:37 
Аватара пользователя
Я бы рассуждал так. $H$ --- подгруппа индекса 2, следовательно, нормальна (для док-ва надо рассмотреть разбиения группы $G$ на левые и правые смежные классы). Соответствующая фактор-группа есть группа порядка 2, отсюда следует утверждение.

 
 
 
 
Сообщение06.06.2007, 10:22 
у меня вот ещё с какой задачей возник вопрос:
G множество всех вещественных чисел отличных от -1
Доказать g группа относительно операции a*b=ab+a+b
Какой из известных групп она изоморфна?

Каким образом вообще проводить доказательство?
И изоморфна она будет какой-нибудь группе комплексных чисел?

 
 
 
 
Сообщение06.06.2007, 11:21 
Аватара пользователя
Подсказка: $ab+a+b=(a+1)(b+1)-1$
Эта группа изоморфна группе биекций вида $x \rightarrow (a+1)x+a$ множества $R$ с выколотой точкой $-1$.
Хм, чем же она известна?

 
 
 
 
Сообщение06.06.2007, 11:28 
спасибо...
то что группа доказал.
(a+1) 0
0 1
а такая матрица, нет?

и почему в ответе а-константа???
если я правильно понял задание, то а и б это не константы

 
 
 
 
Сообщение07.06.2007, 16:49 
Аватара пользователя
Пользуясь подсказкой botа, легко видеть, что эта группа изоморфна группе $(\mathbb{R}^*,\cdot)$ ненулевых вещественных чисел относительно умножения. Не знаю, правда, насколько она "известна".

 
 
 
 
Сообщение08.06.2007, 05:30 
Аватара пользователя
RIP писал(а):
Эта группа изоморфна группе ненулевых вещественных чисел относительно умножения.

:oops:
bot писал(а):
Хм, чем же она известна?

Совсем не подумавши был, что играют только коэффициенты (a+1) при x.

 
 
 
 
Сообщение11.06.2007, 10:51 
появилась ещё задача.

G группа вещественных функций вида
$$u(a,b)(\alpha)=\alpha*a+b$$ относительно суперпозиции

Является ли нормальным делителем в G множество
$${u(a,a^{-1}) | a\in \mathbb{R} , a\neq 0}$$

 
 
 
 
Сообщение11.06.2007, 10:58 
Аватара пользователя
Сначала проверьте, является ли это множество группой.

 
 
 [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group