замкнутое множество как пересечение счетного числа открытых

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Если рассмотреть замкнутый интервал, то вроде бы всё понятно- а если замкнутое множество- множество Кантора?
Или достаточно доказать для замкнутого интервала, а Канторово множество- это обьединение таких интервалов?

Нет, приведенное Someone рассуждение применимо сразу для любого замкнутого множества. А что Вас смущает?

[Capella]

Хм, насколько я знаю, канторово множество уже есть объединение замкнутых, например

$C_1 = [0, \frac 1 3] \cup [\frac 2 3, 1]$

ну и так далее для других индексов

Добавлено спустя 8 минут 15 секунд:

Ещё возможна такая трактовка, сконструировано сл объединение:

$[a,b) \cup (c,d]$

Оно будет являться замкнутым, если $c < b$

[Таня Тайс]

Brukvalub писал(а):

приведенное Someone рассуждение применимо сразу для любого замкнутого множества. А что Вас смущает?

Смущает то, что есть очень сложно сконструированные замкнутые множества, типа Канторова и я знаю ещё одно такое, нигде не плотное с мощностью континуум. Но наверное смущать не должно, в этом преимущество обобщений.

[Someone]

Capella писал(а):

Хм, насколько я знаю, канторово множество уже есть объединение замкнутых, например

$C_1 = [0, \frac 1 3] \cup [\frac 2 3, 1]$

ну и так далее для других индексов

Нет, оно определяется как пересечение замкнутых: $C=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} C_n$, где $C_0=[0,1]$, $C_1=[0,\frac 13]\cup[\frac 23,1]$, $C_2=[0,\frac 19]\cup[\frac 29,\frac 13]\cup[\frac 23,\frac 79]\cup[\frac 89,1]$,...

Что касается основной задачи темы, то она для канторова совершенного множества решается точно так же, как для любого замкнутого множества в любом метрическом пространстве: определяем $U_nC=\{x\in\mathbb R:\rho(x,C)<\frac 1n\}$, тогда $C=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}U_nC$. Расстояние от точки до множества определяется как $\rho(x,C)=\inf\{\rho(x,y):y\in C\}$.

[Таня Тайс]

Можно ли отсюда заключить, что любое открытое множество это обьединение счётного числа замкнутых?
Из соображений двойственности ?
В любом случае всем огромное спасибо !

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Можно ли отсюда заключить, что любое открытое множество это обьединение счётного числа замкнутых?
Из соображений двойственности ?

Вы же сами ответили на свой вопрос - да, можно, об этом здесь писала Таня Тайс

[Capella]

Someone

Ну да, я имела ввиду объединение внутри любого индекса $C_n$.
Т.е. разница лежит вот в этих двух цитатах:

Таня Тайс писал(а):

вот именно! а какие открытые множества дадут в своём пересечении множество Кантора?

Someone писал(а):

оно определяется как пересечение замкнутых: $C=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} C_n$

Я говорила в отношении первой, т.е. в отношении цитаты Тани Тайс
Ваша замечание безусловно необходимо, иначе можно понять, что достаточно ограничиться множеством $C_0$.
С другой стороны можно рассмотреть как дополнение к объединению (но не пересечению) открытых множеств в интервале $[0,1]$

[Таня Тайс]

Capella
В этом была первоначальная задача-доказать, что любое замкнутое мн-во можно представить как пересечение счетного числа открытых- если Вы прочитаете повнимательнее начало:)