замкнутое множество как пересечение счетного числа открытых

[Таня Тайс]

Пытаюсь доказать, что любое замкнутое множество это пересечение счетного числа открытых.
Ну да, можно получить замкнутые множества, если пересекаются бесконечно много открытых, но чтобы любое... неочевидно... Не могу доказать...

[PAV]

Рассмотрите мнежество точек, расстояние от которых до данного замкнутого множества меньше $\frac{1}{n}$ (это называется окрестность множества).

[незваный гость]

А это верно?!

Рассмотрите, скажем, пространство ${\mathbb R} \cup \{p\}$, ($p$ — точка, не принадлежащая ${\mathbb R}$, открытые множества — пустое, либо содержащие $p$.

По моему, в этой топологии любое пересечение открытых не даст некоторых замкнутые множества.

[Brukvalub]

Я бы вообще начал с вопроса: происходит ли все в метрическом пр-ве с топологией, индуцированной метрикой, или в каком-либо топологическом пространстве без доп. структур?

[Someone]

А в каком пространстве? Если в метрическом, то нет проблем. Берёте в качестве $U_nF$, $n\in\mathbb N$, $\frac 1n$-окрестность множества $F$ и показываете, что их пересечение совпадает с $F$.

[незваный гость]

Передеремся! А ведь все правы…

[Таня Тайс]

Это происходит в пространстве вещественных чисел.
Я поняла, спасибо.

[Таня Тайс]

Если рассмотреть замкнутый интервал, то вроде бы всё понятно- а если замкнутое множество- множество Кантора?
Или достаточно доказать для замкнутого интервала, а Канторово множество- это обьединение таких интервалов?
Тогда верно также, что любое открытое множество на числовой оси можно представить как обьединение счётного числа замкнутых!

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Или достаточно доказать для замкнутого интервала

Непонятен сам термин: замкнутый интервал

[Capella]

Brukvalub писал(а):

Таня Тайс писал(а):

Или достаточно доказать для замкнутого интервала

Непонятен сам термин: замкнутый интервал

Попробую угадать - под замкнутым интервалом понимается замкнутое множество, которое всюду плотно.

[Таня Тайс]

Я учу математику по-немецки- иногда проблемы- не понимаю по-нем., а иногда- не могу перевести на русский - не знаю терминов- sorry!
Замкнутый интервал [a,b].

[Capella]

А под самим замкнутым множеством следует понимать, является ли их объединение замкнутым.
Кстати, само канторово множество замкнуто. (по моему это даже обсуждалось в олимпиадном разделе)

Добавлено спустя 44 секунды:

Таня Тайс писал(а):

Я учу математику по-немецки- иногда проблемы- не понимаю по-нем., а иногда- не могу перевести на русский - не знаю терминов- sorry!
Замкнутый интервал [a,b].

Kein Problem, dann sprechen Sie doch deutsch

[Brukvalub]

Таня Тайс писал(а):

Замкнутый интервал [a,b].

- а по-русски-отрезок

[Capella]

Таня Тайс писал(а):

Замкнутый интервал [a,b].

Если так задано, то должно быть задано множество, в котором лежит этот интервал. Применяя метод ИСН, т.е. телепатию, я даю ещё один маячок - это множество $\mathbb{R}$

[Таня Тайс]

Capella писал(а):

само канторово множество замкнуто

вот именно! а какие открытые множества дадут в своём пересечении множество Кантора? Или это неважно, какие, но они существуют, достаточно для [a,b] показать?