Оценка суммы, связанной с функцией Эйлера (компл. интегриров

[Gordmit]

Увидел в одной книге (Чанга М.Е. Метод комплексного интегрирования) одну задачу, что-то не получается решить. Может кто подскажет.

Доказать асимптотическую формулу

$$\sum_{n\leqslant x}r(n)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}x+O(xe^{-c\sqrt{\ln x}})$$

,
где $r(n)$ - число решений уравнения $\varphi(m)=n$.

P.S. На всякий случай, $\varphi(m)$ - функция Эйлера.

[RIP]

Решается с помощью формулы Перрона (см., например, Карацуба А.А. — Основы аналитической теории чисел, глава V, теорема 1. Кстати, это задача 8 к этой главе, правда там более слабая формулировка. Далее я буду ссылаться на эту книжку.)
Рассмотрим при $\mathop{\mathrm{Re}}s>1$ функцию

$$f(s):=\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{n^s}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\varphi(n)^s}=\prod_p\left(1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{\varphi(p^k)^s}\right)=\zeta(s)G(s),$$

где функция $G(s)$ голоморфна в области $\mathop{\mathrm{Re}}s>0$ и ограничена в области $\mathop{\mathrm{Re}}s>1/2$. Далее надо действовать аналогично тому, как доказывается первое утверждение теоремы 2 той же главы. Для этого понадобится оценка $\zeta(s)$ вблизи прямой $\mathop{\mathrm{Re}}s=1$, а также оценка для $r(n)$. Для оценки дзета-функции можно воспользоваться теоремой 6 главы IV. Как попроще оценить $r(n)$, я что-то не могу придумать.



В результате всей этой деятельности получится

$$\sum_{n\leqslant x}r(n)=G(1)x+O(\cdot).$$

Невероятно, но факт: $G(1)$ считается явно (получается бесконечное произведение, которое похоже на то, про которое Вы уже спрашивали.)

Добавлено спустя 1 час 7 минут 32 секунды:

Хм, похоже, что с ограниченностью $G(s)$ я лопухнулся. Если она и ограничена, то это как-то не видать. Видимо, оценивать надо сразу саму функцию $f(s)$.

[Gordmit]

Спасибо, стало более-менее понятно. В принципе, у меня возникли проблемы в самом начале: вместо того, чтобы написать

RIP писал(а):

$$\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{n^s}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\varphi(n)^s}=\prod_p\left(1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{\varphi(p^k)^s}\right)$$

я хотел раскладывать в бесконечное произведение непосредственно первую сумму, безуспешно пытаясь доказать мультипликативность $r(n)$ (это, видимо, неверно). Дальнейший ход решения в общем и целом ясен, хотя и там, конечно, не без проблем (ограниченность функции и т.п.).

[RIP]

Вряд ли функция $G(s)$ ограничена (даже если и ограничена, то доказать это будет, имхо, весьма непросто), но, если я не ошибся в выкладках, получается, что при $1-\frac1{\log|t|}\leqslant\sigma\leqslant2$, $|t|\geqslant10$, выполняется неравенство $|G(s)|\ll(\log|t|)^{C}$, где $C$ --- некоторая абсолютная постоянная. Этого неравенства хватает.

P.S. Как обычно, $s=\sigma+it$, т.е. $\sigma=\mathop{\mathrm{Re}}s$, $t=\mathop{\mathrm{Im}}s$.

[Gordmit]

А как это можно аккуратно показать? Я не прошу привести все выкладки , просто подскажите идею, я попробую сам разобраться...

[RIP]

Надо разбить произведение на 2:
1) $p\leqslant|t|$. Здесь каждый сомножитель оцениваем как $1+\frac{c_1}{p^{\sigma}}<1+\frac{c_2}{p}$. Это даёт степень логарифма.
2) $p>|t|$. Здесь сомножители оцениваются как $1+\frac{c_3|t|}{p^{\sigma+1}}$. Эта часть произведения есть $O(1)$.