2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка суммы, связанной с функцией Эйлера (компл. интегриров
Сообщение01.06.2007, 14:05 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Увидел в одной книге (Чанга М.Е. Метод комплексного интегрирования) одну задачу, что-то не получается решить. Может кто подскажет.

Доказать асимптотическую формулу
$$\sum_{n\leqslant x}r(n)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)}x+O(xe^{-c\sqrt{\ln x}})$$,
где $r(n)$ - число решений уравнения $\varphi(m)=n$.

P.S. На всякий случай, $\varphi(m)$ - функция Эйлера.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.06.2007, 19:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Решается с помощью формулы Перрона (см., например, Карацуба А.А. — Основы аналитической теории чисел, глава V, теорема 1. Кстати, это задача 8 к этой главе, правда там более слабая формулировка. Далее я буду ссылаться на эту книжку.)
Рассмотрим при $\mathop{\mathrm{Re}}s>1$ функцию
$$f(s):=\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{n^s}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\varphi(n)^s}=\prod_p\left(1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{\varphi(p^k)^s}\right)=\zeta(s)G(s),$$
где функция $G(s)$ голоморфна в области $\mathop{\mathrm{Re}}s>0$ и ограничена в области $\mathop{\mathrm{Re}}s>1/2$. Далее надо действовать аналогично тому, как доказывается первое утверждение теоремы 2 той же главы. Для этого понадобится оценка $\zeta(s)$ вблизи прямой $\mathop{\mathrm{Re}}s=1$, а также оценка для $r(n)$. Для оценки дзета-функции можно воспользоваться теоремой 6 главы IV. Как попроще оценить $r(n)$, я что-то не могу придумать.



В результате всей этой деятельности получится
$$\sum_{n\leqslant x}r(n)=G(1)x+O(\cdot).$$
Невероятно, но факт: $G(1)$ считается явно (получается бесконечное произведение, которое похоже на то, про которое Вы уже спрашивали.)

Добавлено спустя 1 час 7 минут 32 секунды:

Хм, похоже, что с ограниченностью $G(s)$ я лопухнулся. Если она и ограничена, то это как-то не видать. Видимо, оценивать надо сразу саму функцию $f(s)$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.06.2007, 20:54 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
Спасибо, стало более-менее понятно. В принципе, у меня возникли проблемы в самом начале: вместо того, чтобы написать
RIP писал(а):
$$\sum_{n=1}^\infty\frac{r(n)}{n^s}=\sum_{n=1}^\infty\frac1{\varphi(n)^s}=\prod_p\left(1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{\varphi(p^k)^s}\right)$$
я хотел раскладывать в бесконечное произведение непосредственно первую сумму, безуспешно пытаясь доказать мультипликативность $r(n)$ (это, видимо, неверно). Дальнейший ход решения в общем и целом ясен, хотя и там, конечно, не без проблем (ограниченность функции и т.п.).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.06.2007, 20:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Вряд ли функция $G(s)$ ограничена (даже если и ограничена, то доказать это будет, имхо, весьма непросто), но, если я не ошибся в выкладках, получается, что при $1-\frac1{\log|t|}\leqslant\sigma\leqslant2$, $|t|\geqslant10$, выполняется неравенство $|G(s)|\ll(\log|t|)^{C}$, где $C$ --- некоторая абсолютная постоянная. Этого неравенства хватает.

P.S. Как обычно, $s=\sigma+it$, т.е. $\sigma=\mathop{\mathrm{Re}}s$, $t=\mathop{\mathrm{Im}}s$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.06.2007, 21:12 
Заслуженный участник


19/06/05
486
МГУ
А как это можно аккуратно показать? Я не прошу привести все выкладки :) , просто подскажите идею, я попробую сам разобраться...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение01.06.2007, 21:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3822
Надо разбить произведение на 2:
1) $p\leqslant|t|$. Здесь каждый сомножитель оцениваем как $1+\frac{c_1}{p^{\sigma}}<1+\frac{c_2}{p}$. Это даёт степень логарифма.
2) $p>|t|$. Здесь сомножители оцениваются как $1+\frac{c_3|t|}{p^{\sigma+1}}$. Эта часть произведения есть $O(1)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group