2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение10.02.2013, 21:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Между какими двумя последовательными целыми числами заключено число? $$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 06:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 09:04 


29/05/12
238
TOTAL в сообщении #682393 писал(а):
$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Подобная задача встречалась в тренировочной книжке по ГИА-9. Скорее всего, существует метод вычисления без применения интегралов. К сожалению, сам не могу ее решить :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 10:22 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Можно показать, что сумма в левой части меньше $2\sqrt n-1$. Для $n=99$ это дает нам верное $19$. Остается подпереть снизу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Cash в сообщении #682419 писал(а):
Можно показать, что сумма в левой части меньше $2\sqrt n-1$. Для $n=99$ это дает нам верное $19$. Остается подпереть снизу.

Сначала надо показать, что у нас "левая часть". :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 10:45 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Бывает. :facepalm:
Хотел сказать, что по индукции легко проходит
$\displaystyles \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt i} \leqslant 2 \sqrt n-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Оценку снизу тоже по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 11:35 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #682393 писал(а):
$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Задача для 10-го класса:
http://icu.ivanovo.ac.ru/math2/olimp/2000/olimp52.htm

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
Ktina в сообщении #682431 писал(а):
Задача для 10-го класса

Про десятый класс в условии ничего не говорилось. А если бы говорилось, то :D
$$2 (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 11:53 


07/11/12
137
Школьными методами (без метода математической индукции) легко доказывается строгое неравенство: $1+2(\sqrt {n+1}-\sqrt{2})<S<1+2(\sqrt {n}-1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 12:00 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
$2(\sqrt {n+1} - \sqrt n) < \frac {1}{\sqrt n} < 2(\sqrt {n} - \sqrt {n-1})$

Интересно различие в оценке сложности задачи для 10 и 11 класса - последняя и первая соответственно. Могу лишь предположить, что из-за того, что в 10 классе подразумевается, что должно "осенить", а в 11 классе уже даются начала матанализа (совершенно не знаю школьную программу) и данные неравенства предлагается "вывести".

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 12:09 


07/11/12
137
Cash в сообщении #682438 писал(а):
$2(\sqrt {n+1} - \sqrt n) < \frac {1}{\sqrt n} < 2(\sqrt {n} - \sqrt {n-1})$

Интересно различие в оценке сложности задачи для 10 и 11 класса - последняя и первая соответственно. Могу лишь предположить, что из-за того, что в 10 классе подразумевается, что должно "осенить", а в 11 классе уже даются начала матанализа (совершенно не знаю школьную программу) и данные неравенства предлагается "вывести".

Это задание на уровне 9 класса, не требует абсолютно ничего из анализа, достаточно знать элементарные приемы мажорирования заданной суммы членов ряда другим вспомогательным более удобным рядом как сверху, так и снизу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 12:17 
Заслуженный участник


12/09/10
1547

(Оффтоп)

Цитата:
Это задание на уровне 9 класса, не требует абсолютно ничего из анализа, достаточно знать элементарные приемы мажорирования заданной суммы членов ряда другим вспомогательным более удобным рядом как сверху, так и снизу

Я думаю, что на городской олимпиаде областного центра в 9 классе слово мажорирование знают от силы 10-15% участников

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 12:25 


07/11/12
137
$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}=$$1+2(\frac {1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{99}})<$
<$1+2(\frac {1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}})=$ $1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{99}-\sqrt{98})=1+2(\sqrt{99}-1)$. Аналогично можно вывести $1+2(\sqrt{100}-\sqrt{2})<\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$. В итоге получаем: $18<S<19$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 13:08 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
matidiot в сообщении #682445 писал(а):
$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}=$$1+2(\frac {1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{99}})<$
<$1+2(\frac {1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}})=$ $1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{99}-\sqrt{98})=1+2(\sqrt{99}-1)$. Аналогично можно вывести $1+2(\sqrt{100}-\sqrt{2})<\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$. В итоге получаем: $18<S<19$

красиво, а я интеграл от одного до ста брал, тот же эффект, случайность?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group