Между какими двумя целыми числами заключено число?

[Ktina]

Между какими двумя последовательными целыми числами заключено число?

$$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$$

[TOTAL]

$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

[kda_ximik]

TOTAL в сообщении #682393 писал(а):

$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Подобная задача встречалась в тренировочной книжке по ГИА-9. Скорее всего, существует метод вычисления без применения интегралов. К сожалению, сам не могу ее решить

[Cash]

Можно показать, что сумма в левой части меньше $2\sqrt n-1$. Для $n=99$ это дает нам верное $19$. Остается подпереть снизу.

[TOTAL]

Cash в сообщении #682419 писал(а):

Можно показать, что сумма в левой части меньше $2\sqrt n-1$. Для $n=99$ это дает нам верное $19$. Остается подпереть снизу.

Сначала надо показать, что у нас "левая часть".

[Cash]

Бывает.
Хотел сказать, что по индукции легко проходит
$\displaystyles \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt i} \leqslant 2 \sqrt n-1$

[TOTAL]

Оценку снизу тоже по индукции.

[Ktina]

TOTAL в сообщении #682393 писал(а):

$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Задача для 10-го класса:
http://icu.ivanovo.ac.ru/math2/olimp/2000/olimp52.htm

[TOTAL]

Ktina в сообщении #682431 писал(а):

Задача для 10-го класса

Про десятый класс в условии ничего не говорилось. А если бы говорилось, то

$$2 (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$$

[matidiot]

Школьными методами (без метода математической индукции) легко доказывается строгое неравенство: $1+2(\sqrt {n+1}-\sqrt{2})<S<1+2(\sqrt {n}-1)$

[Cash]

$2(\sqrt {n+1} - \sqrt n) < \frac {1}{\sqrt n} < 2(\sqrt {n} - \sqrt {n-1})$

Интересно различие в оценке сложности задачи для 10 и 11 класса - последняя и первая соответственно. Могу лишь предположить, что из-за того, что в 10 классе подразумевается, что должно "осенить", а в 11 классе уже даются начала матанализа (совершенно не знаю школьную программу) и данные неравенства предлагается "вывести".

[matidiot]

Cash в сообщении #682438 писал(а):

$2(\sqrt {n+1} - \sqrt n) < \frac {1}{\sqrt n} < 2(\sqrt {n} - \sqrt {n-1})$

Интересно различие в оценке сложности задачи для 10 и 11 класса - последняя и первая соответственно. Могу лишь предположить, что из-за того, что в 10 классе подразумевается, что должно "осенить", а в 11 классе уже даются начала матанализа (совершенно не знаю школьную программу) и данные неравенства предлагается "вывести".

Это задание на уровне 9 класса, не требует абсолютно ничего из анализа, достаточно знать элементарные приемы мажорирования заданной суммы членов ряда другим вспомогательным более удобным рядом как сверху, так и снизу.

[Cash]

(Оффтоп)

Цитата:

Это задание на уровне 9 класса, не требует абсолютно ничего из анализа, достаточно знать элементарные приемы мажорирования заданной суммы членов ряда другим вспомогательным более удобным рядом как сверху, так и снизу

Я думаю, что на городской олимпиаде областного центра в 9 классе слово мажорирование знают от силы 10-15% участников

[matidiot]

$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}=$$1+2(\frac {1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{99}})<$
<$1+2(\frac {1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}})=$ $1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{99}-\sqrt{98})=1+2(\sqrt{99}-1)$. Аналогично можно вывести $1+2(\sqrt{100}-\sqrt{2})<\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$. В итоге получаем: $18<S<19$

[master]

matidiot в сообщении #682445 писал(а):

$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}=$$1+2(\frac {1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{99}})<$
<$1+2(\frac {1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}})=$ $1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{99}-\sqrt{98})=1+2(\sqrt{99}-1)$. Аналогично можно вывести $1+2(\sqrt{100}-\sqrt{2})<\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$. В итоге получаем: $18<S<19$

красиво, а я интеграл от одного до ста брал, тот же эффект, случайность?