2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение10.02.2013, 21:02 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Между какими двумя последовательными целыми числами заключено число? $$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 06:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 09:04 


29/05/12
238
TOTAL в сообщении #682393 писал(а):
$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Подобная задача встречалась в тренировочной книжке по ГИА-9. Скорее всего, существует метод вычисления без применения интегралов. К сожалению, сам не могу ее решить :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 10:22 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Можно показать, что сумма в левой части меньше $2\sqrt n-1$. Для $n=99$ это дает нам верное $19$. Остается подпереть снизу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 10:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Cash в сообщении #682419 писал(а):
Можно показать, что сумма в левой части меньше $2\sqrt n-1$. Для $n=99$ это дает нам верное $19$. Остается подпереть снизу.

Сначала надо показать, что у нас "левая часть". :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 10:45 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Бывает. :facepalm:
Хотел сказать, что по индукции легко проходит
$\displaystyles \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt i} \leqslant 2 \sqrt n-1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Оценку снизу тоже по индукции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 11:35 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
TOTAL в сообщении #682393 писал(а):
$$\int_2^{100}\frac{dx}{\sqrt{x}} < S-1 < \int_1^{99}\frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Задача для 10-го класса:
http://icu.ivanovo.ac.ru/math2/olimp/2000/olimp52.htm

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5502
Нов-ск
Ktina в сообщении #682431 писал(а):
Задача для 10-го класса

Про десятый класс в условии ничего не говорилось. А если бы говорилось, то :D
$$2 (\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) < \frac{1}{\sqrt{n}} < 2 (\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 11:53 


07/11/12
137
Школьными методами (без метода математической индукции) легко доказывается строгое неравенство: $1+2(\sqrt {n+1}-\sqrt{2})<S<1+2(\sqrt {n}-1)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 12:00 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
$2(\sqrt {n+1} - \sqrt n) < \frac {1}{\sqrt n} < 2(\sqrt {n} - \sqrt {n-1})$

Интересно различие в оценке сложности задачи для 10 и 11 класса - последняя и первая соответственно. Могу лишь предположить, что из-за того, что в 10 классе подразумевается, что должно "осенить", а в 11 классе уже даются начала матанализа (совершенно не знаю школьную программу) и данные неравенства предлагается "вывести".

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 12:09 


07/11/12
137
Cash в сообщении #682438 писал(а):
$2(\sqrt {n+1} - \sqrt n) < \frac {1}{\sqrt n} < 2(\sqrt {n} - \sqrt {n-1})$

Интересно различие в оценке сложности задачи для 10 и 11 класса - последняя и первая соответственно. Могу лишь предположить, что из-за того, что в 10 классе подразумевается, что должно "осенить", а в 11 классе уже даются начала матанализа (совершенно не знаю школьную программу) и данные неравенства предлагается "вывести".

Это задание на уровне 9 класса, не требует абсолютно ничего из анализа, достаточно знать элементарные приемы мажорирования заданной суммы членов ряда другим вспомогательным более удобным рядом как сверху, так и снизу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 12:17 
Заслуженный участник


12/09/10
1547

(Оффтоп)

Цитата:
Это задание на уровне 9 класса, не требует абсолютно ничего из анализа, достаточно знать элементарные приемы мажорирования заданной суммы членов ряда другим вспомогательным более удобным рядом как сверху, так и снизу

Я думаю, что на городской олимпиаде областного центра в 9 классе слово мажорирование знают от силы 10-15% участников

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 12:25 


07/11/12
137
$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}=$$1+2(\frac {1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{99}})<$
<$1+2(\frac {1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}})=$ $1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{99}-\sqrt{98})=1+2(\sqrt{99}-1)$. Аналогично можно вывести $1+2(\sqrt{100}-\sqrt{2})<\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$. В итоге получаем: $18<S<19$

 Профиль  
                  
 
 Re: Между какими двумя целыми числами заключено число?
Сообщение11.02.2013, 13:08 
Заблокирован


12/08/09

1284
Самодуровка
matidiot в сообщении #682445 писал(а):
$\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}=$$1+2(\frac {1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2\sqrt{99}})<$
<$1+2(\frac {1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}})=$ $1+2(\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{99}-\sqrt{98})=1+2(\sqrt{99}-1)$. Аналогично можно вывести $1+2(\sqrt{100}-\sqrt{2})<\frac{1}{\sqrt 1}+\frac{1}{\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 3}+\dots +\frac{1}{\sqrt {99}}$. В итоге получаем: $18<S<19$

красиво, а я интеграл от одного до ста брал, тот же эффект, случайность?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group