ЕГЭ-2012, задачи C6

[Батороев]

Извиняюсь, не проверил и потерял во втором слагаемом $(a+b)$.

[_Ivana]

(Оффтоп)

Это что, такой ЕГЭ у школьников? А говорили, Фурсенко поколение идиотов растит

[nnosipov]

(Оффтоп)

Фурсенко здесь не при чём, эту задачу не он придумал.

[TOTAL]

$a=A \cdot p^{\alpha}, \;\;$ $b=B \cdot p^{\beta}, \;\;$ $0 < \alpha \le \beta$
Второе уравнение не выполняется, что доказывает взаимную простоту $a$ и $b.$
Это рассуждение вполне доступно школьнику.

[nnosipov]

TOTAL в сообщении #623239 писал(а):

Это рассуждение вполне доступно школьнику.

Конечно, доступно. Как и другое рассуждение, которое не использует понятие простого числа (оно опирается на свойства взаимно простых чисел). Оба этих рассуждения шаблонны, однако обычному школьнику они, как правило, неизвестны --- по разным причинам школьные учителя предпочитают их не сообщать. В этом-то и есть основная трудность.

[Rasool]

Задача из задачника ЕГЭ-2012, Вариант 4, Часть 2, задача C6.
Найдите все такие простые числа $p$, при которых число $p^2+29$ имеет ровно четыре делителя.
Т.е. фактически нужно доказать, что кроме $p=2,3$ других решений нет.
Вот мои попытки решения:
представим число $p$ как нечетное число $1+2k$ и попытаемся доказать более сильное утверждение - условие задачи для нечетных чисел. Тогда $(1+2k)^2+29 = 2(15+2k(k+1))$, т.е. $15+2k(k+1)$ должно быть простым. При $k=1$ получаем известное решение $p=3$. Следующее число, удовлетворяющее условию, получается при $k=7$, что соответствует $p=15$.
Метод мат. индукции тут тоже мало применим. Если числа - простые, то тут напрашивается решето Эратосфена, но как?

[nnosipov]

Rasool в сообщении #682216 писал(а):

и попытаемся доказать более сильное утверждение

Не надо. Просто подумайте, на что обязательно будет делиться число $p^2+29$ при простом $p \geqslant 5$.

[Rasool]

nnosipov в сообщении #682219 писал(а):

Просто подумайте, на что обязательно будет делиться число $p^2+29$ при простом $p \geqslant 5$.

На 2 и 3 (второе доказывается рассмотрением случаев $p = 3k+1$ и $p = 3k+2$). Спасибо большое.