Числовые системы

[Nameless_2013]

Можно ли построить числовые системы $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$, не опираясь на такие понятия абстрактной алгебры, как группа, кольцо, поле и другие? Знаю, что есть книга Ландау "Основы анализа", где проводится такое построение, но проблема в том, что он определяет рациональное число как упорядоченную пару натуральных чисел (а не целых), целое - как рациональное с единицей в знаменателе, не включает ноль в число рационалных и целых чисел.

[Xaositect]

Nameless_2013 в сообщении #681523 писал(а):

Можно ли построить числовые системы $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ и $\mathbb{C}$, не опираясь на такие понятия абстрактной алгебры, как группа, кольцо, поле и другие?

Можно слов "группа, кольцо, поле" не произносить, но это не отменяет того, что $\mathbb{N}$ - свободное полукольцо без генераторов, $\mathbb{Z}$ - его кольцо Гротендика, $\mathbb{Q}$ - поле частных $\mathbb{Z}$, $\mathbb{R}$ - пополнение $\mathbb{Q}$ как упорядоченного поля, и $\mathbb{C}$ - алгебраическое замыкание $\mathbb{R}$.

Естественно, что все это можно написать не произнося этих слов, выглядеть это будет примерно так:
I. Натуральные числа.
1. $0$ - натуральное число
2. Если $a$ - натуральное число, то $Sa$ - натуральное число.
3. Других натуральных чисел нет.
Равенство натуральых чисел определяется как равенство строк.
Операции.
$0 + x = x$
$Sx + y = S(x + y)$
$0\cdot x = 0$
$Sx \cdot y = x\cdot y + y$
Обозначим $1 = S0$
Свойства операций (доказываются индукцией)
$x + y = y + x$
$x + (y + z) = (x + y) + z$
$x y = y x$
$x(yz) = (xy) z$
$S0\cdot x = x$
$x(y + z) = xy + xz$
$x + y = x + z \Rightarrow y = z$
II. Целые числа
Это пары натуральных чисел, пару $a, b$ будем записывать $a - b$
Равенство: $a - b = c - d \Leftrightarrow a + d = b + c$
Натуральные числа вкладываются в целые: $a\mapsto a - 0$.
Операции:
$(a - b) + (c - d) = (a + c) - (b + d)$
$(a - b) (c - d) = (ac + bd) - (ad + bd)$
Доказываем корректность определения операций и согласованность с операциями на $\mathbb{N}$
Свойства: те же, плюс $\forall x y \exists z: x + z = y$, это позволяет ввести вычитание.
Порядок: натуральные числа называем неотрицательными, $x\leqslant y$, если $y - x$ неотрицательно. Проверяем определение линейного порядка.
Свойства порядка (помимо определения линейного порядка): $a\leqslant b\Rightarrow a + c \leqslant b$, $0\leqslant a, 0\leqslant b\Rightarrow 0 \leqslant ab$
III. Рациональные числа
Это пары целых чисел $a, b$, где $b\neq 0$, пару будем записывать как $\frac{a}{b}$
Равенство: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow ad = bc$
Целые числа вкладываются в рациональные как $x\mapsto \frac{x}{1}$
Операции:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
$\frac{a}{b}\frac{c}{d}$
Доказываем корректность и согласованность с ранее определенным.
Свойства те же, плюс $\forall x\neq 0 \forall y\exists z xz = y$. Вводим деление.
Порядок: Неотрицательными называем числа $\frac{n}{b}$, где $n$ натурально. Свойства порядка те же.
IV. Действительные числа (по Дедекинду)
Множество $R$ рациональным чисел называем сечением (точнее, верхней половиной сечения), если $x\in R, x \leqslant y \Rightarrow y \in R$ и $\forall x \in R\exists y\in R: y < x$.
Сечение, не совпадающее с $\mathbb{Q}$, назовем действительным числом.
Равенство определяется как равенство множеств.
Рациональные числа вкладываются в действительные как $x\mapsto \{r| r > x\}$
Порядок: $R\geqslant 0\Leftrightarrow 0\notin R$
Операции:
$R_1 + R_2 = \{x+y| x\in R_1, y\in R_2\}$
$R_1\cdot R_2 = \{xy| x\in R_1, y\in R_2\}$ для неотрицательных $R_1, R_2$, для остальных определяем через правило знаков.
V. Комплексные числа
Это пары действительных, пару $(a, b)$ запиываем как $a + bi$
Вводим операции, доказываем свойства, доказываем основную теорему алгебры.

Nameless_2013 в сообщении #681523 писал(а):

определяет рациональное число как упорядоченную пару натуральных чисел (а не целых), целое - как рациональное с единицей в знаменателе, не включает ноль в число рационалных и целых чисел

Я сначала не поверил, но действительно, так и есть. Ужас.

[Nameless_2013]

Xaositect, спасибо.

Xaositect в сообщении #681547 писал(а):

Я сначала не поверил, но действительно, так и есть. Ужас.

Да. Зато как просто вводятся натуральные числа и доказываются их свойства!

[Nameless_2013]

Xaositect, правильно ли я понимаю, что при таком подходе нужно определять целое (и рациональное) число как соответствующий класс эквивалентности?

[Xaositect]

Да

[Nameless_2013]

Спасибо.

[Aritaborian]

$\mathbb{R}$ также можно строить из $\mathbb{Q}$ как фактормножество по отношению эквивалентности, без дедекиндовых сечений. Но сначала нужно изучить последовательности, пределы и фундаментальные последовательности. Казалось бы, сложнее, но вот мне так больше нравится ;-)

[arseniiv]

А пределы зачем? Фундаментальная последовательность определяется без пределов.

-- Пн фев 11, 2013 01:39:12 --

Хотя, ну да, для отождествления некоторых последовательностей с рациональными числами надо предел ввести.

[Nameless_2013]

Aritaborian в сообщении #682283 писал(а):

Но сначала нужно изучить последовательности, пределы и фундаментальные последовательности.

Именно поэтому мне такой метод не подходит.

[Aritaborian]

Nameless_2013 в сообщении #682328 писал(а):

Именно поэтому мне такой метод не подходит.

Ну, вы просили не упоминать понятия алгебры, а не матана.

[Nameless_2013]

Aritaborian в сообщении #682332 писал(а):

Ну, вы просили не упоминать понятия алгебры, а не матана.

Мне нужно построить указанные числовые системы, чтобы на их основе строить алгебру и анализ. Иначе - нелогично.

[Aritaborian]

Нелогичной скорее можно назвать именно вашу идею.
Пифагор пришёл бы в ужас, узнав, что современная математика строится не из чисел. Но вы-то не Пифагор и должны спокойно это воспринять.

(Оффтоп)

Возможно, я выразился невнятно. Нужны дальнейшие пояснения?

[Xaositect]

На всякий случай, в связи с этой темой: Вы там перечислили аксиомы для множества натуральных чисел и начали доказывать теоремы. Но Вы не построили множество натуральных чисел, так как для построения нужно предъявить какое-нибудь множество, для которого эти аксиомы удовлетворяются.

[Nameless_2013]

Xaositect в сообщении #682361 писал(а):

Но Вы не построили множество натуральных чисел, так как для построения нужно предъявить какое-нибудь множество, для которого эти аксиомы удовлетворяются.

Например? Множество палочек подойдёт?
В целом я следую книге Ю. Н. Смолина "Числовые системы".

-- 11.02.2013, 14:44 --

Aritaborian в сообщении #682360 писал(а):

Нелогичной скорее можно назвать именно вашу идею.

Почему? Представьте, что мы начинаем изучать алгебру и анализ, не построив числовые системы (школьные знания не в счёт). А потом, спустя время, строим эти самые числовые системы, основываясь на алгебре и анализе. По-моему, нелогично.

[Xaositect]

Nameless_2013 в сообщении #682470 писал(а):

Почему? Представьте, что мы начинаем изучать алгебру и анализ, не построив числовые системы (школьные знания не в счёт). А потом, спустя время, строим эти самые числовые системы, основываясь на алгебре и анализе. По-моему, нелогично.

Суть алгебры как раз в том, что конкретная система по большей части не важна, алгебра изучает общие закономерности в конструкциях, удовлетворяющих некоторым аксиомам.

-- Пн фев 11, 2013 15:50:37 --

Nameless_2013 в сообщении #682470 писал(а):

Например? Множество палочек подойдёт?

Подойдет.