Построение множества натуральных чисел

[Nameless_2013]

Пусть: 1) $N$ - некоторое множество;
2) ' - унарное отношение (следовать за) на $N$.

Аксиома 1. $\forall n \in N \ \exists ! n' \in N$.

Аксиома 2. $\exists 1 \in N \ \forall n \in N \ 1 \not=n'$.

Аксиома 3. $\forall m,n \in N \ m'=n' \ \Rightarrow m=n$.

Аксиома 4. Пусть $P(n)$ - некоторое высказывание, зависящее от $n \in N$. Если выполнены условия: 1) истинно $P(1)$, 2) из предположения о существовании $k \in N$, при котором истинно $P(k)$, следует истинность $P(k')$, то $P(n)$ истинно $\forall n \in N$.

Определение 1. Множество $N$ называется множеством натуральных чисел, если выполнены аксиомы 1-4. Обозначение: $\mathbb{N}$.

Теорема 1. $\forall m,n \in \mathbb{N} \ m \not= n \ \Rightarrow \ m' \not= n'$.

Доказательство. Пусть $m \not= n$. Предположим, что $m'=n'$. Тогда, в силу аксиомы 3, $m=n$. Противоречие.

Теорема 2. $\forall n' \in \mathbb{N} \setminus \{1\} \ \exists ! n \in \mathbb{N}$.

Доказательство.
1) Единственность. Пусть дано число $n'\in \mathbb{N} \setminus \{1\}$, $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ - числа, предшествующие $n'$. Предположим, что $n_1 \not= n_2$. Тогда, в силу теоремы 1, $n' \not= n'$. Противоречие.
2) Существование.

Подскажите, пожалуйста, как доказать существование.

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Xaositect]

Вообще-то, в записи $n'$ уже подразумевается существование $n$.

Если же имелось в виду $\forall m\neq 1 \exists n (m = n')$, то это эквивалентно $\forall m (m = 1 \vee \exists n (m = n'))$ и доказывается по индукции.

[Nameless_2013]

Буквальная формулировка такая: любое натуральное число, если оно не равно единице, имеет предшествующее.

Я не понял, как доказывать по индукции, если единицу не рассматриваем.

[Xaositect]

Ну я, собственно, и написал во втором предложении.
Что Вам непонятно: как доказать $\forall m (m = 1\vee \exists n(m = n'))$ или как перейти от этого к требуемому?

[Nameless_2013]

Непонятно, как доказывать, если для единицы не выполняется. От чего тогда отталкиваться? Конечно, можно за базу индукции брать не единицу, а любое другое число, например, два, но эквивалентность двух принципов индукции тоже надо доказывать.

[Xaositect]

Я вам и говорю: докажите сначала $\forall m (m = 1 \vee \exists n (m = n'))$. Обычной индукцией. $P(k)$ будет $k = 1 \vee \exists n(k = n')$

[Nameless_2013]

1) $n=1$: $P(1)=\{1=1 \vee \exists n (1=n')\}$ - истинно, так как один из членов дизъюнкции истинен
2) $n=k$: $P(k)=\{k=1 \vee \exists n (k=n')\}$
3) $n=k+1$: $P(k+1)=\{k+1=1 \vee \exists n (k+1=n')\}$ - истинно по аксиоме 1

[Xaositect]

Примерно так, да.
Теперь мы знаем, что любое натуральное число равно 1 или имеет предшественника. Если число не равно 1, то первый вариант невозможен.

[Nameless_2013]

Xaositect, спасибо.

-- 09.02.2013, 20:14 --

Nameless_2013 в сообщении #681930 писал(а):

3) $n=k+1$: $P(k+1)=\{k+1=1 \vee \exists n (k+1=n')\}$ - истинно по аксиоме 1

Хотя... Как используется второй пункт при доказательстве третьего?

[Xaositect]

Nameless_2013 в сообщении #681939 писал(а):

Хотя... Как используется второй пункт при доказательстве третьего?

Никак, но это не важно :) Надо, чтобы мы умели доказать третий пункт в предположении, что второй верен, а если мы можем и без предположения его доказать, то все равно все хорошо.

[Nameless_2013]

Xaositect в сообщении #681941 писал(а):

Надо, чтобы мы умели доказать третий пункт в предположении, что второй верен, а если мы можем и без предположения его доказать, то все равно все хорошо.

Интересно... Много раз пользовался математической индукцией, но такого не видел.

[arseniiv]

Если $A$ истинно, то и $B \to A$ всегда тоже.