Теплицев оператор

[shwedka]

Может, задача и посерьезнее, чем на форуме принято, но все же заела она меня очень.
Пусть $H$ -гильбертово пространство $L_2(D), \; D$единичный круг в комплексной плоскости, относительно лебеговой меры. Далее,
$G$ замкнутое подпространство в $H$ , состоящее из аналитических функций, $P$ проектор на него из $H$. Пусть далее $f(z)$ - гладкая функция с компактным носителем в $D$ . Ей сопоставляется оператор $T_f, T_fu=Pfu$ в $H$ . Доказать или опровергнуть: если $T_f$ конечного ранга, то он нулевой.

[Capella]

Ничего себе задачка! Когда в первый раз прочла, у меня глаза разбежались, как у ребёнка в "Детском мире"! В первую очередь поражает "плотность понятий на квадратный метр" (насчитала по меньшей мере 5 понятий из различных тем).
Что-ж, давайте думать. Для начала припомним определения:
1. Норма гильбертова пространство $ L_2 = ($$\int (f(x))^2 dx$$)^\frac 1 2 $
(пока это отложим).
2. Ваша комплексная функция определена на единичным круге как гладкая с компактным носителем. Вот это уже более интересно: гладкая означает бесконечнодифференцируемая, с компактным носителем - 0 за пределами области определения. Отсюда, надо полагать, что ваша функция ограничена. Но если $ f(z) < a, a = const = 1 $, то я полагаю, что не мешает применить теорему Лювиля, которая гласит, что если функция комплексного переменного ограничена, то она константна. Теперь ограничим отсюда нашу функцию только на её реельную часть. Я предполагаю так-же, что Ваше $ u $ из T_f u = P f u $ есть реельная часть Вашего отображения $ z = x + iy \to w(z) = u + i v $, значит мы на правильном пути.
3. Ваш оператор. Вот здесь начинаются проблемы - такого я ещё не видела . Судя по слову "проектор", Вы что-то куда-то прецируете. Я знаю проекцию вектора на прямую, подозреваю, что это не совсем то. Во вторых, что подразумевается под словом ранг? Вроде ранг бывает у матриц, а не у опраторов. Вообще я под оператором понимаю в общем смысле какое-то действие над функцией, соотвественно существует бесконечное множество операторов (некоторые из них я даже проходила).
Теперь, размышляем, Вы этот оператор применяете к константной функции. Если он конечного ранга (то есть его дименсион < $ \infty $), то он нулевой, то есть не существует(?). Отсюда он должен проделывать что-то с функцией бесконечное количество раз или??? Проясните пожайлуста, насчёт пункта 3...
И ещё, как-то страно, что Вы проецируете в замкнутое множество. Вопрос собственно, там не возникнет проблем в краевых точках области при понятии дифференцирования (всё-таки в $ \mathbb C $ работаем, а там этого избегать надо вроде). Хотя опять-же если рассматривать только константные функции......

[Аурелиано Буэндиа]

shwedka писал(а):

$G$ замкнутое подпространство в $H$ , состоящее из аналитических функций, $P$ проектор на него из $H$. Пусть далее $f(z)$ - гладкая функция с компактным носителем в $D$ . Ей сопоставляется оператор $T_f, T_fu=Pfu$ в $H$ . Доказать или опровергнуть: если $T_f$ конечного ранга, то он нулевой.

Возможно тут подразумевается, что ранг оператора равен размерности образа линейного оператора, т.е $\hbox{rang}(T_f)=\hbox{dim}(G)$

[Capella]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

shwedka писал(а):

$G$ замкнутое подпространство в $H$ , состоящее из аналитических функций, $P$ проектор на него из $H$. Пусть далее $f(z)$ - гладкая функция с компактным носителем в $D$ . Ей сопоставляется оператор $T_f, T_fu=Pfu$ в $H$ . Доказать или опровергнуть: если $T_f$ конечного ранга, то он нулевой.

Возможно тут подразумевается, что ранг оператора равен размерности образа линейного оператора, т.е $\hbox{rang}(T_f)=\hbox{dim}(G)$

Так, ок, девушки, как истинные леди, пропускают джентельменов вперёд

[shwedka]

Цитата:

Ваша комплексная функция определена на единичным круге как гладкая с компактным носителем. Вот это уже более интересно: гладкая означает бесконечнодифференцируемая, с компактным носителем - 0 за пределами области определения. Отсюда, надо полагать, что ваша функция ограничена. Но если $ f(z) < a, a = const = 1 $, то я полагаю, что не мешает применить теорему Лювиля, которая гласит, что если функция комплексного переменного ограничена, то она константна.

Прошу прощения, но я разве сказала, что функция $f$ аналитическая?? Так что теорема Лиувилля здесь не причем.
Проектор пониматся в смысле теории гильбертова пространства, ортогональный проектор на замкнутое подпространство (легкое упражнение на интегральную формулу Коши, что подпространство замкнуто). Ранг оператора, да, размерность его образа.
Что, может быть, легче, и, пожалуй, важнее, это тот же вопрос для оператора $S_f=PfP$

да, функции, квсе комплекснозначные, так что норма в гильбертовом пространстве задается через
$\int |f(z)|^2 dxdy$

[Capella]

А да точно, я не подумала, что Ваша функция должна быть голоморфной! Это меняет дело. Но тогда, что мы имеем, я должна подумать над проектированием (пока я себе это плохо представляю).Опять-же, почему множество замкнуто?
Да ещё, может глупость сейчас скажу, под проектором понимается ноpма в $ L_2 $?

[shwedka]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Возможно тут подразумевается, что ранг оператора равен размерности образа линейного оператора, т.е $\hbox{rang}(T_f)=\hbox{dim}(G)$

Нет, ранг оператора это размерность его образа, это может быть какой-то собственной частью $G$, уж что получится.

[shwedka]

Цитата:

Да ещё, может глупость сейчас скажу, под проектором понимается ноpма в $ L_2 $?

ой, не надо так!!
Проектор это оператор, а норма это число, сопоставленное элементу гильбертова пространства, или, если хотите, функция на пространстве...

Задача, между прочим, из физики возникла...

[Capella]

мне кажется, надо предположить, что фунция аналитическая... С какого курса задача (ещё из физики к тому-же - из квантовой?)...?

[shwedka]

Capella писал(а):

мне кажется, надо предположить, что фунция аналитическая... С какого курса задача (ещё из физики к тому-же - из квантовой?)...?

Нет, не надо, по той же теореме Лиувилля таких функций с компатным носителем, кроме нуля нет!!
С какого курса- да ни с какого. Чтобы понять условия, нужно знать ФункАН и ТФКП. Чтобы решить - не знаю. Я умею справляться с некоторыми частными случаями, скажем, когда функция зависит только от радиуса. И здесь за пределы мехматовской ТФКП выходить не приходится.
А физика- да, квантовая.

[Capella]

shwedka писал(а):

Capella писал(а):

мне кажется, надо предположить, что фунция аналитическая... С какого курса задача (ещё из физики к тому-же - из квантовой?)...?

Нет, не надо, по той же теореме Лиувилля таких функций с компатным носителем, кроме нуля нет!!
С какого курса- да ни с какого. Чтобы понять условия, нужно знать ФункАН и ТФКП. Чтобы решить - не знаю. Я умею справляться с некоторыми частными случаями, скажем, когда функция зависит только от радиуса. И здесь за пределы мехматовской ТФКП выходить не приходится.
А физика- да, квантовая.

Функ анализ вроде сама сейчас прохожу, ТФКП не знаю что такое. Если Комплексной переменой - то тоже проходила. Задача интересная, если Вы сами решите, сможете решение опубликовать?

[shwedka]

[
Функ анализ вроде сама сейчас прохожу, ТФКП не знаю что такое. Если Комплексной переменой - то тоже проходила. Задача интересная, если Вы сами решите, сможете решение опубликовать?[/quote]
Да, комплексная переменная.
Да, если решится, то вполне публикуемо.
Но, с чего начала, задача трудная. известны даже ошибочные публикации ф солидных журналах.

[Аурелиано Буэндиа]

Вы упомянули что задача пришла из физики. А о каком физическом приложении шла речь?

[shwedka]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Вы упомянули что задача пришла из физики. А о каком физическом приложении шла речь?

Если Вам интересно, то из справедливости моего утверждения следовало бы, что не может быть так, что какой-нибудь уровень Ландау магнитного оператора Шредингера с постоянным магнитным полем НЕ расщепляется при слабом возмущении магнитного поля.Иначе говоря, обязательно расщепляется.

[Capella]

Я не понимаю, а что мешает Вам в таком случае оперировать 0-функцией? У Вас она по определению гладкая в $ \mathbb C^\infty $ с компактным носителем - она, как Вы уже сказали, и будет равняться 0. Но опертор проекции определён как $ f\circ f \to f $. Ну и ладненько, отобразим 0-функцию на 0-функция, получаем привиальный случай. Вообще с 0-функцией там не всё так интересно, но похоже, не получите всё-же другого, т.к. функция всё-таки голоморфна, причём в $ \mathbb C^\infty $, поскольку она гладкая