2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 
Сообщение30.05.2007, 09:55 


29/05/07
20
Ярославль
PAV
Выражаемость, судя по всему, просто доказывается?
Есть система векторов. Из неё можно выделить максимальную линейно независимую, через которую выражаются остальные вектора системы.

В нашей "положительной" линейной оболочке все вектора выражаются через исходную систему. А дальше взамен "отброшенных" векторов можно подставить их выражение через выделенную максимальную линейно независимую систему ("базу").

В итоге получаем, что каждый вектор рассматриваемого множества линейно выражается через нашу базу.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 10:36 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Не совсем. Исходно ведь все коэффициенты неотрицательны. Но после выражения всех коэффициентов через базу это условие может нарушаться. А с другой стороны, если рассмотрите выражение через базу с произвольными коэффициентами, то можете получить посторонние вектора. Поэтому нужно некоторые усилия положить на то, чтобы получить такое же множество векторов.

Добавлено спустя 29 секунд:

the_mescalito писал(а):
В итоге получаем, что каждый вектор рассматриваемого множества линейно выражается через нашу базу.


Но обратное, вообще говоря, неверно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 19:54 


29/05/07
20
Ярославль
Всем огромное спасибо за участие!

Пытаюсь понять рассуждения Brukvalub.

Разве линейная оболочка сама не является одним из подпространств в пересечении?
А ведь именно её замкнутость и надо показать... :-\

PAV
А для чего это доказывать? Может просто сделать замену?
Получится примерно такое начало:

Исходно имеем линейно зависимую систему векторов a_1,...,a_n.

Мы можем урезать её до максимальной линейно независимой системы (базы) a_1,...,a_p так, что:

a_{p+1} = \gamma_1^{p+1} a_1 + ... + \gamma_p^{p+1} a_p
...
a_n = \gamma_1^n a_1 + ... + \gamma_p^n a_p

Тогда исходное множество может быть представлено следующим образом:

A = \left\{ \lambda_1'a_1 + ... \lambda_p'a_p | \lambda_1' >= \gamma_1^{p+1} + ... + \gamma_1^{p+1}; ...; \lambda_p' >= \gamma_p^{p+1} + ... + \gamma_p^{p+1}\right\}

Вектора a_1, ..., a_p линейно независимы, следовательно каждая точка множества A взаимнооднозначно представляется набором коэффициентов\lambda_1', ... \lambda_p'.

А вот далее...
Мне кажется, далее нужно каким-то образом склонить к сходимости коэффициентов.
Здесь наверное очень помог бы приведённый Вами факт с ортогональными дополнениями. Подскажите пожалуйста, где о нём можно поподробней почитать?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение30.05.2007, 20:46 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
Вам нужно внимательнее продумать условия на коэффициенты $\lambda_i'$. То, что Вы написали, неверно. Например, пусть $a_1$ и $a_2$ - базис, $a_3=a_1+a_2$. По Вашему условию выходит, что вектор $x=0.5a_1$ не подходит, но это же неверно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2007, 13:38 


29/05/07
20
Ярославль
PAV
Да, прошу прощения, виноват...
A = \left\{ \lambda_1'a_1 + ... \lambda_p'a_p | \lambda_1' >= -\left(\gamma_1^{p+1} + ... + \gamma_1^{p+1}\right); ...; \lambda_p' >= -\left(\gamma_p^{p+1} + ... + \gamma_p^{p+1}\right)\right\}

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.05.2007, 13:58 
Супермодератор
Аватара пользователя


29/07/05
8248
Москва
И это тоже, по-моему, неверно. Если я не ошибаюсь, то рассмотрев в двумерном простанстве систему из трех векторов $(1,0)$, $(0,1)$ и $(-1,-1)$, ИМХО, с помощью линейной комбинации с неотрицательными коэффициентами можно получить вообще любой вектор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 36 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group