При каких число будет целым

[Ward]

На самом деле первый случай я понял наполовину.
Действительно, если $n=ab$, где $1<a\neq b<n$, то $\frac{(n-1)!}{n}$ будет целым (это я понял).
А вот если $n=ab$, причем $a=b$, то тогда $\frac{(n-1)!}{n}$ будет целым при $a\neq 2$ (вот над этим пунктом я уже думаю и чего-то доказать до конца не могу).

[Whitaker]

Ward
А что тут трудного?
Если у Ваc $n=ab$, где $1<a=b<n$, т.е. $n=a^2$, тогда:

$$\frac{(a^2-1)!}{a^2}=\frac{1\times 2 \times \dots \times(a-1)\times (a+1)\times\dots \times(a^2-1)}{a}$$

Количество чисел в числителе, делящиеся на $a$ равно в точности $\left[\dfrac{a^2-1}{a}\right]-1=a-2$
Значит, при $a=2$, т.е. при $n=2^2=4$ дробь будет несократимой, а при других $n:n=a^2$, где $a>2$ дробь будет целой.
При $a=1$ дробь также будет целой.

[ex-math]

Если $n$ нельзя представить в упомянутом виде, то оно либо вовсе не имеет собственных делителей (т.е. $n$ -- простое), либо имеет ровно один собственный делитель (какое тогда $n$ и когда наша дробь сократится в этом случае?).

[ex-math]

Не ищете легких путей?

Во втором случае единственный собственный делитель -- простой, $n=p^2$ и оба множителя $p$ в знаменателе сократятся тогда и только тогда, когда $2p<n=p^2$, т.е. $p>2$.

[Ward]

ex-math в сообщении #679130 писал(а):

Во втором случае единственный собственный делитель -- простой.

Извините, а почему он простой?

[Ward]

ex-math в сообщении #679130 писал(а):

Во втором случае единственный собственный делитель -- простой.

Извините, а почему он простой?

[Whitaker]

Ward
1) Если $n=ab$, где $1<a\neq b<n$, то тогда все понятно.
2) Если же $n$ не представляет в таком виде, т.е. это значит, что:
- $n$ - простое число, тогда для простых ответ мы тоже знаем (дробь будет несократимой).
- $n=p^2$, то для него ответ тоже ясен, а именно дробь будет несократимой при $p\geqslant 3$ (при $p=2$ дробь несократимая).

Ward в сообщении #679184 писал(а):

ex-math в сообщении #679130 писал(а):

Во втором случае единственный собственный делитель -- простой.

Извините, а почему он простой?

Ну пусть он не простой, т.е. $n=a^2$, где $a$-составное, т.е. $a=bc$, где $b,c \neq 1(\neq n)$, тогда $n=(bc)^2=b^2c^2=b\times bc^2$ и $b\neq bc^2$. А это и есть выше рассматриваемый случай 1)(а для него все ясно). Значит, остается рассматривать, когда $a$ - простое, т.е. $n=p^2$

[ex-math]

Ward
Наименьший отличный от 1 делитель $n$-- простой. Доказывается от противного.

Впрочем, здесь простота этого делителя особо и не нужна: если $2d<d^2$, то дробь сократится.