При каких число будет целым

[vorvalm]

Ward
Ну что тут непонятного. Все делители $d\mid n < n-1$ входят в $(n-1)!$

[_Ivana]

Первое впечатление - подходят все, кроме простых и полных квадратов простых.

ЗЫ насчет оставшихся исключений - возьмите 49, например. Или 121. Или... ну, думаю понятно

[apriv]

_Ivana в сообщении #678821 писал(а):

Первое впечатление - подходят все, кроме простых и полных квадратов простых.

И оно, конечно же, неверно.

-- 01.02.2013, 16:44 --

Ward в сообщении #678813 писал(а):

Sonic86
но я хочу понять как автор пришел к этому. Это не совсем понятно мне.

Автор пришел к этому, вспомнив определения простого и составного числа.

[Ward]

apriv
было бы хорошо если бы Вы нормально объяснили, а не смотрели бы с высока....

[_Ivana]

apriv в сообщении #678825 писал(а):

И оно, конечно же, неверно.

Убедит единственный контрпример.

[apriv]

_Ivana в сообщении #678829 писал(а):

apriv в сообщении #678825 писал(а):

И оно, конечно же, неверно.

Убедит единственный контрпример.

Возьмите квадрат какого-нибудь простого числа. Ну, например, 9. Посчитайте на калькуляторе дробь. Убедитесь.

[_Ivana]

Убедили. Пришло время второго впечатления По которому кроме простых и 4 больше исключений не нахожу.

[nnosipov]

Стандартный подход в подобных задачах --- применение формулы Лежандра для показателя, с которым данное простое число входит в каноническое разложение числа $n!$.

[Ward]

Уважаемый nnosipov
Я так и сделал:
1) когда $n$-простое, то из формулы Лежандра получилось, что $\frac{(n-1)!}{n}$ не будет целым.
2) Вот когда $n$-составное, то там уже немного громоздко получается.

[nnosipov]

Ward в сообщении #678844 писал(а):

2) Вот когда $n$-составное, то там уже немного громоздко получается.

Вы всю эту машинерию применяйте к дроби $n!/n^2$, будет практически очевидно.

[Ward]

nnosipov
ну что-то не очевидно как-то. Пусть $n=p_1^{\alpha_1}\dots p_k^{\alpha_k}$, тогда

$$v_{p_1}(n!)=\sum \limits_{j\geqslant 1}\left[\frac{n}{p_1^j}\right]$$

Как показать, что $v_{p_1}(n!)\geqslant 2\alpha_1$? Непонятно....

[nnosipov]

Ну, давайте запишем $n=p^sm$, где $s \geqslant 1$ и $\gcd{(m,p)}=1$. Тогда $\nu_p(n!) \geqslant (p^{s-1}+\ldots+p+1)m$. Если $n$ --- не степень простого числа (с показателем $\geqslant 1$), то всегда $m \geqslant 2$, а значит, $(p^{s-1}+\ldots+p+1)m \geqslant 2(p^{s-1}+\ldots+p+1) \geqslant 2s$. Таким образом, осталось рассмотреть случай, когда $n=p^s$. Это сделайте сами.

[Ward]

nnosipov
Большое спасибо Вам!
Все понял и случай степень простого также разобрал. Вы прекрасно объяснили!
Еще раз благодарю!

[nnosipov]

Вы не расслабляйтесь, Вам ещё первый способ решения понять нужно. И лучше это сделать самому, без дальнейших подсказок.

[ex-math]

Да, если попробовать рассуждать так

apriv в сообщении #678794 писал(а):

Если $n$ можно представить в виде $n=ab$, где $1<a\neq b<n$, то...
А если в таком виде представить нельзя, то...

то доказательство получится в одну строчку.