Пересыпание сахара в банке

[Munin]

(Оффтоп)

Есть одна задача, или даже идея задачи, для которой меня давно интересует ответ, но я даже точно не могу сформулировать вопрос.

Банка с сахаром (цилинр с круглым или квадратным основанием, и ограниченной высотой, вся геометрия задана) заполнена сначала белым сахаром на высоту $h_1,$ а потом поверх него насыпали слой коричневого сахара толщиной $h_2.$ Ничем, кроме цвета, один сахар от другого не отличается. Можно ли, наклоняя и поворачивая банку, чтобы сахар осыпался "по склону", но не подбрасывая сахар, не тряся банку, и т. п., поменять слои местами? Удовлетворительным ответом будет, если в конечном состоянии центр тяжести белого сахара будет расположен выше центра тяжести коричневого сахара.

Update:
Важное уточнение.
Банка - цилиндр, имеющий: дно (нижнее основание) и боковые стенки. Верхнего основания нет. Если банку наклонять так, что сахар высыплется (например, на угол больше $\pi/2$), такое решение считается неприемлемым.

Сыпучее вещество сыплется, когда угол наклона поверхности к горизонту достигает некоторого $\alpha$ - критического угла, предела сыпучести. Будем считать, что осыпание происходит по всему склону с одинаковой скоростью. Частицы в толще вещества под поверхностью остаются неподвижны. Осыпание прекращается, когда угол наклона становится меньше некоторого угла $\beta,$ можно рассматривать как $\beta<\alpha,$ так и $\beta\to\alpha.$ Задачу можно рассматривать как двумерную или как трёхмерную. Какие ещё условия и договорённости добавить, как уточнить модель - не знаю, готов выслушать предложения.

[longstreet]

Задача очень интересная!!!

Munin в сообщении #678132 писал(а):

не подбрасывая сахар, не тряся банку

Конкретно, что это значит? В частности, возможны ли следующие плавные (без тряски) движения банки (рисунок под катом):

(Оффтоп)

Munin в сообщении #678132 писал(а):

Какие ещё условия и договорённости добавить

Такое ощущение, что ответ может зависеть от количества песка в банке, соотношения $h_1/h_2$, размеров и геометрии отверстия (пока совсем не задано). Интересно, может ли ответ зависеть от геометрии песчинок сахара, как Вы думаете? (Вроде плотная упаковка шаров оставит меньше места для движений, чем упаковка тетраэдров, и т.п.)

[Aritaborian]

longstreet, мне кажется, отверстия в банке нет, и сахар не высыпается.

[longstreet]

Да, это я напридумывал.

[Munin]

Важное уточнение.
Банка - цилиндр, имеющий: дно (нижнее основание) и боковые стенки. Верхнего основания нет. Если банку наклонять так, что сахар высыплется (например, на угол больше $\pi/2$), такое решение считается неприемлемым.

Понял, что надо это сказать, после рисунков longstreet.

(Оффтоп)

Извините. Я имел в виду вполне конкретную банку у себя на кухне :-)

longstreet в сообщении #678142 писал(а):

Такое ощущение, что ответ может зависеть от количества песка в банке, соотношения $h_1/h_2$, размеров и геометрии отверстия (пока совсем не задано).

Да, наверняка, если ответ будет вообще положительный, то с некоторыми ограничениями, которые надо указать вместе с ответом (если их можно вообще будет конструктивно найти).

longstreet в сообщении #678142 писал(а):

Интересно, может ли ответ зависеть от геометрии песчинок сахара, как Вы думаете?

Вот от геометрии песчинок я стремлюсь абстрагироваться, заменяя их некоторой макроскопической моделью сыпучего вещества.

-- 31.01.2013 17:04:24 --

longstreet в сообщении #678142 писал(а):

Конкретно, что это значит? В частности, возможны ли следующие плавные (без тряски) движения банки (рисунок под катом):

(Оффтоп)

Была бы банка с верхним основанием - были бы возможны. Вопрос меня заинтересовал именно для открытой банки.

[longstreet]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #678320 писал(а):

Я имел в виду вполне конкретную банку у себя на кухне

Дело в том, что я тоже.

Munin в сообщении #678320 писал(а):

Да, наверняка, если ответ будет вообще положительный, то с некоторыми ограничениями

Да, интересно, решается ли задача положительно хоть для каких-то значений параметров.

(Оффтоп)

Может, Oleg Zubelevich сюда заглянет и выскажется по делу. Было бы интересно.

[Munin]

(Оффтоп)

Да я больше на математиков надеюсь. Задача мне кажется математической по сути.

[Утундрий]

Munin в сообщении #678132 писал(а):

Какие ещё условия и договорённости добавить, как уточнить модель - не знаю, готов выслушать предложения

Квазистатичность не помешала бы. То есть, манипуляции с банкой настолько плавны, что содержимое в каждый момент времени занимает равновесное состояние.

Наверное разумно сперва ограничиться плоским случаем.

И еще вопрос: будет ли при превышении угла ссыпания ссыпаться нижний слой, в случае, когда он прикрыт верхним слоем? По идее, вроде как не должен.

[Munin]

Утундрий в сообщении #678897 писал(а):

Квазистатичность не помешала бы.

Да, это хорошее уточнение моего условия "не трясти".

Утундрий в сообщении #678897 писал(а):

Наверное разумно сперва ограничиться плоским случаем.

Я как раз думал, что разгадка может быть в схемах типа "положить банку набок, и вращать".

Утундрий в сообщении #678897 писал(а):

И еще вопрос: будет ли при превышении угла ссыпания ссыпаться нижний слой, в случае, когда он прикрыт верхним слоем? По идее, вроде как не должен.

Я говорил: нет. Осыпание идёт только по поверхности. Впрочем, насколько это физически верно, я что-то засомневался.

[Aritaborian]

Munin, мой друг внимательно прочёл задачу и начало обсуждения и задался следующим вопросом. Откуда из условия (как из математической, так и из физической его стороны) следует, что слои не перемешиваются?

[nikvic]

А есть ли решение? Т.е. как может быть поставлен близкий вопрос, чтобы можно было обосновывать и отрицательный ответ?

[Утундрий]

nikvic в сообщении #678976 писал(а):

А есть ли решение?

Сильно зависит от геометрии, однако. Вот если насыпать стакан почти всклень, а слои поделить поровну, то как его не крути, а не просыпав цели не достигнешь.

[Munin]

Aritaborian в сообщении #678961 писал(а):

Откуда из условия (как из математической, так и из физической его стороны) следует, что слои не перемешиваются?

Ниоткуда. Им разрешено перемешиваться. Но пускай они перемешиваются так, что в конце белый сахар в среднем будет выше (я сформулировал через понятия центра тяжести, его можно воспринимать и как центр тяжести распределения в смеси).

Утундрий в сообщении #678978 писал(а):

Вот если насыпать стакан почти всклень, а слои поделить поровну, то как его не крути, а не просыпав цели не достигнешь.

Спасибо! Есть вариант отрицательного ответа!

Теперь, представим себе, что высота банки достаточна, чтобы её можно было наклонить сильнее предела сыпучести, и при этом не высыпать сахар из банки.

-- 01.02.2013 22:37:48 --

nikvic в сообщении #678976 писал(а):

Т.е. как может быть поставлен близкий вопрос, чтобы можно было обосновывать и отрицательный ответ?

Может быть, там есть какая-нибудь сохраняющаяся величина, которая моментально гарантирует, что один вид сахара всегда будет под другим. Банку-то вверх ногами переворачивать нельзя.

[Утундрий]

Munin в сообщении #678987 писал(а):

Им разрешено перемешиваться.

Ну уж! Меньше всего тут нужен VOF со своими заморочками. Пусть всё хоть поначалу будет геометрически чётким.

[Munin]

Утундрий в сообщении #679001 писал(а):

Ну уж!

Ну, согласен, я не так выразился. Можно рассматривать и задачу, когда им разрешено перемешиваться, и когда нельзя. Поскольку я не знаю доказательства, что они не будут перемешиваться, то и не ввожу этого ограничения, а вопрос формулирую так, чтобы можно было рассмотреть обе задачи.