При каких число будет целым

[Ward]

Здравствуйте!

При каких $n$ выражение $\dfrac{(n-1)!}{n}$ будет целым числом.

Если $n$ - простое число, то $\frac{(n-1)!}{n}$ не будет целым. А как при других $n$ делать?

[vorvalm]

Найти число делителей $n.$

[gris]

Попробуйте построить примеры, когда выражение не будет целым. То есть числитель не будет полностью сокращаться со знаменателем, то будет существовать делитель знаменателя, на который не будет делиться числитель, то есть будет существовать простой делитель знаменателя, степень которого меньше, чем степень этого делителя в числителе. Вроде бы достаточно. Простые $n$ подходят сразу. Ещё подходит $n=4$, а вот дальше...

[Ward]

vorvalm
Причем тут это?
Ну скажем $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$, тогда $\tau(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)$
Но что это дает?

-- 01.02.2013, 15:50 --

gris
Вы действительно хорошо написали, но что-то в общем не понял

[vorvalm]

Извиняюсь, не число делителей, но просто делители $n.$

[Ward]

подумал, но что-то мыслей никаких нет...

[apriv]

Ward в сообщении #678774 писал(а):

Если $n$ - простое число, то $\frac{(n-1)!}{n}$ не будет целым. А как при других $n$ делать?

Если $n$ можно представить в виде $n=ab$, где $1<a\neq b<n$, то...
А если в таком виде представить нельзя, то...

[vorvalm]

Все делители $d\mid n<n-1$, следовательно, все войдут в $(n-1)!$.

[Ward]

vorvalm
не все делители. Например $d=n$

[vorvalm]

Но стоит же знак " < ".

[Ward]

vorvalm в сообщении #678799 писал(а):

Все делители $d\mid n<n-1$, следовательно, все войдут в $(n-1)!$.

Т.е. Вы говорите, что все делители числа $n$ меньше $n-1$.
Это ведь неверно число $n$ тоже будет делителем $n$, но $n$ разве меньше $n-1$?

[gris]

Каждый собственный делитель составного числа, конечно, сократится. Но сократятся ли они сразу все? Это ещё надо доказать. Возможен ли контрпример, кроме $n=4$? Попробуйте его привести
Нельзя ли рассматривать отдельно делители вида степени простого числа?

[Ward]

gris
у меня есть такая мысль, но она очень некрасивая:
Пусть $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ Для того, что $n\mid (n-1)!$ нужно, чтобы $n-1>p_i^{\alpha_i}$ для каждого $1\leqslant i \leqslant k$

[Sonic86]

Ward, Вам же написали уже:

apriv в сообщении #678794 писал(а):

Если $n$ можно представить в виде $n=ab$, где $1<a\neq b<n$, то...
А если в таком виде представить нельзя, то...

найдите все оставшиеся исключения - должно быть только $n=4$.

[Ward]

Sonic86
но я хочу понять как автор пришел к этому. Это не совсем понятно мне.
Был бы крайне признателен если кто-нибудь подсказал бы мне как это делать.