2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 14:22 
Здравствуйте!

При каких $n$ выражение $\dfrac{(n-1)!}{n}$ будет целым числом.

Если $n$ - простое число, то $\frac{(n-1)!}{n}$ не будет целым. А как при других $n$ делать?

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 14:41 
Найти число делителей $n.$

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 14:42 
Аватара пользователя
Попробуйте построить примеры, когда выражение не будет целым. То есть числитель не будет полностью сокращаться со знаменателем, то будет существовать делитель знаменателя, на который не будет делиться числитель, то есть будет существовать простой делитель знаменателя, степень которого меньше, чем степень этого делителя в числителе. Вроде бы достаточно. Простые $n$ подходят сразу. Ещё подходит $n=4$, а вот дальше...

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 14:44 
vorvalm
Причем тут это?
Ну скажем $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$, тогда $\tau(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\dots(\alpha_k+1)$
Но что это дает?

-- 01.02.2013, 15:50 --

gris
Вы действительно хорошо написали, но что-то в общем не понял

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 14:50 
Извиняюсь, не число делителей, но просто делители $n.$

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 14:53 
подумал, но что-то мыслей никаких нет...

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 14:54 
Ward в сообщении #678774 писал(а):
Если $n$ - простое число, то $\frac{(n-1)!}{n}$ не будет целым. А как при других $n$ делать?

Если $n$ можно представить в виде $n=ab$, где $1<a\neq b<n$, то...
А если в таком виде представить нельзя, то...

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 15:00 
Все делители $d\mid n<n-1$, следовательно, все войдут в $(n-1)!$.

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 15:02 
vorvalm
не все делители. Например $d=n$

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 15:06 
Но стоит же знак " < ".

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 15:08 
vorvalm в сообщении #678799 писал(а):
Все делители $d\mid n<n-1$, следовательно, все войдут в $(n-1)!$.
Т.е. Вы говорите, что все делители числа $n$ меньше $n-1$.
Это ведь неверно число $n$ тоже будет делителем $n$, но $n$ разве меньше $n-1$?

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 15:09 
Аватара пользователя
Каждый собственный делитель составного числа, конечно, сократится. Но сократятся ли они сразу все? Это ещё надо доказать. Возможен ли контрпример, кроме $n=4$? Попробуйте его привести :-)
Нельзя ли рассматривать отдельно делители вида степени простого числа?

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 15:14 
gris
у меня есть такая мысль, но она очень некрасивая:
Пусть $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\dots p_k^{\alpha_k}$ Для того, что $n\mid (n-1)!$ нужно, чтобы $n-1>p_i^{\alpha_i}$ для каждого $1\leqslant i \leqslant k$

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 15:20 
Ward, Вам же написали уже:
apriv в сообщении #678794 писал(а):
Если $n$ можно представить в виде $n=ab$, где $1<a\neq b<n$, то...
А если в таком виде представить нельзя, то...
найдите все оставшиеся исключения - должно быть только $n=4$.

 
 
 
 Re: При каких число будет целым
Сообщение01.02.2013, 15:26 
Sonic86
но я хочу понять как автор пришел к этому. Это не совсем понятно мне.
Был бы крайне признателен если кто-нибудь подсказал бы мне как это делать.

 
 
 [ Сообщений: 38 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group