Волновая природа микромира

[Someone]

Lvov в сообщении #678208 писал(а):

Г.Someone, давайте рассматривать исключительно предлагаемые мною ряды для оператора-радикала.

Нет, не давайте. Никто не обещал, что волновые функции всегда являются аналитическими, и что бесконечные ряды для них всегда сходятся или хотя бы имеют смысл.

Lvov в сообщении #678208 писал(а):

Касательно лагранжианов Вы меня основательно заели.
Придется доказывать, что из них следуют мои уравнения.

По правилам дискуссионных разделов форума, Вы обязаны это сделать. И не после того, как "заели", а сразу же, как только спросили.
То, что Вы пишете далее, никакого отношения к выводу Ваших уравнений из Ваших лагранжианов не имеет.

[g______d]

Lvov в сообщении #678208 писал(а):

От того, что Вы 10 раз повторите ложное утверждение, его убедительность не изменится.

Что-то не понял, какое из утверждений ложно?

Lvov в сообщении #678208 писал(а):

Придется доказывать, что из них следуют мои уравнения.

Lvov в сообщении #678208 писал(а):

Предположим, что выполняется первое из рассмативаемых волновых уравнений

$$\left(i\frac {\partial}{\partial x_0}+\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_k}}\right)\psi=0.$$

Так, я что-то не понял. Доказываем или предполагаем?

В любом случае, если Вы варьируете лагранжиан с дополнительным условием, нельзя так просто взять и подставить это условие в лагранжиан (т. к. в выводе уравнений Эйлера предполагается, что варьирование происходит по всем гладким функциям, а не только по удовлетворяющим дополнительным условиям). Это называется система со связью, и в лагранжиане появляется дополнительный член.

[Lvov]

Цитата:

Someone:
1) Никто не обещал, что волновые функции всегда являются аналитическими, и что бесконечные ряды для них всегда сходятся или хотя бы имеют смысл.
2) То, что Вы пишете далее, никакого отношения к выводу Ваших уравнений из Ваших лагранжианов не имеет.

1) Насчет аналитичности вопрос толковый. Действительно я не оговорил аналитичность функций в рассматриваемой области. Но эта особенность всегда подразумевается физиками в ограниченной пространственной области. Действительно, физики рассматривают поля частиц с ограниченными импульсами (ограниченным спектром пространственных частот). При этом в конечной области мы имеем даже конечное число спектральных функций, естественно бесконечно дифференцируемых.

2) Своей фразой Вы ничего конкретного не сказали, лишь выразив негативное отношение к моим выкладкам. Так скажите же конкретно, в чем ошибка в моих рассуждениях. Лагранжиан, конечно, определяется не однозначно. Но мой лагранжиан оптимален, так как он не только приводит к рассматриваемым уравнениям, но и дает верные значения вектора электрического тока и тензора энергии-импульса, совпадающие с теми же показателями уравнения Клейна-Гордона.

Цитата:

g______d:
если действие содержит $\sqrt{m^2-\Delta}\varphi$, то плотность лагранжиана в точке $x$ не выражается через значение функции $\varphi$ в точке $x$ и конечное число ее производных в точке $x$. В этот состоит нелокальность и нефизичность. То, что не выражается, --- это вполне строгий математический факт.

На мой взгляд, очевидно, что оператор из конечного или бесконечного числа производных не дает размазывания функции типа наших спектральных функций. Тем не менее, укажите, пожалуйста, точнее, где можно увидеть теорему Петри. В интернете я ее не нашел.

Цитата:

Munin:
Этот формальный линейный оператор известен, и он интегральный - нелокальный. Называется функция Грина, пропагатор или фундаментальное решение. Приведён в справочниках по уравнениям матфизики, имеет разный вид для разных размерностей пространства.

Г. Мунин, не можете ли Вы назвать конкретный справочник, где есть сведения о рассматриваемом операторе?

С уважением О.Львов

[Munin]

Lvov в сообщении #678301 писал(а):

Г. Мунин, не можете ли Вы назвать конкретный справочник, где есть сведения о рассматриваемом операторе?

О господи.

Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - ФМЛ, 2001.

Не говоря обо всех учебниках ураматов.

[g______d]

Lvov в сообщении #678301 писал(а):

На мой взгляд, очевидно, что оператор из конечного или бесконечного числа производных не дает размазывания функции типа наших спектральных функций.

Этого недостаточно. Как я уже говорил, варьировать нужно по всем достаточно гладким функциям, а не только "решениям с импульсом не выше $m$". Иначе применение уравнений Эйлера некорректно. Кроме того, само по себе выделение решений с импульсом не выше $m$ до варьирования не является локальным условием.

Lvov в сообщении #678301 писал(а):

Тем не менее, укажите, пожалуйста, точнее, где можно увидеть теорему Петри. В интернете я ее не нашел.

Наберите в поисковике Peetre Theorem, и будет Вам счастье. На русском языке я видел эту теорему только в форме задачи в учебнике. В любом случае, она не очень сложная, если разбираться в обобщенных функциях.

[Someone]

Lvov в сообщении #678301 писал(а):

Насчет аналитичности вопрос толковый. Действительно я не оговорил аналитичность функций в рассматриваемой области. Но эта особенность всегда подразумевается физиками в ограниченной пространственной области.

Нет, не подразумевается.

Lvov в сообщении #678301 писал(а):

Своей фразой Вы ничего конкретного не сказали, лишь выразив негативное отношение к моим выкладкам. Так скажите же конкретно, в чем ошибка в моих рассуждениях.

Вам указал g______d:

g______d в сообщении #678280 писал(а):

Lvov в сообщении #678208 писал(а):

Предположим, что выполняется первое из рассмативаемых волновых уравнений

$$\left(i\frac {\partial}{\partial x_0}+\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_k}}\right)\psi=0.$$

Так, я что-то не понял. Доказываем или предполагаем?

Здесь Вы допускаете банальную логическую ошибку: заранее предполагаете, что написанные Вами уравнения верны, и пытаетесь использовать это в доказательстве того, что они верны. Вы не имеете права ссылаться на свои уравнения до тех пор, пока не выведете их из лагранжиана. До окончания вывода их нет.

[type2b]

g______d в сообщении #678383 писал(а):

Наберите в поисковике Peetre Theorem, и будет Вам счастье.

ух какая хорошая теорема, спасибо!

Уважаемый Lvov! Вам говорят совершенно правильные вещи про Ваш оператор. Точное утверждение состоит в том, что обязательно найдется гладкая бесконечно дифференцируемая функция, для которой Ваш ряд не сойдется.

Пример: возьмем замечательный "локальный" оператор, который Вам уже приводили

$$\mathcal{O}f(x)=\exp({\rm d}/{\rm d}x)f(x).$$

Его можно разложить в ряд по производным -- это ряд Тейлора для $f(x+1)$. Причем, если заменить $d/dx$ на формальную переменную $t$, то ряд будет сходиться абсолютно и равномерно в любой конечной подобласти $\mathbb{C}$. Обратите внимание, Вашему ряду это даже не снилось. Возьмем прекрасную бесконечно дифференцируемую в $\mathbb{R}$ функцию $f(x)=\frac{1}{(x^2+0.5)}$. Ряд для нее расходится, облом.

[Lvov]

Цитата:

g______d:
1) Что-то не понял, какое из утверждений ложно?
2) Так, я что-то не понял. Доказываем или предполагаем?

1) Ложным я считаю утверждение, что оператор-радикал, представляемый в виде указанных рядов не локален, в смысле размазывания каждой точки исходной функции или ее смещения по утверждению г.Someone.

2) Сначала предполагаем, что имеет место соотношение между производной $\partial \psi / \partial t$ и радикал-оператором, отвечающее нашему уравнению, а после определения уравнения Эйлера вариационным методом убеждаемся, что предполагаемое соотношение обеспечивает нулевое значение вариации, и, следовательно, является искомым уравнением.

Цитата:

Someone:
Здесь Вы допускаете банальную логическую ошибку: заранее предполагаете, что написанные Вами уравнения верны, и пытаетесь использовать это в доказательстве того, что они верны. Вы не имеете права ссылаться на свои уравнения до тех пор, пока не выведете их из лагранжиана. До окончания вывода их нет.

Разве в вариационном методе есть запрет на предположения о тех или иных соотношениях? В результате моего предположения лагранжиан по-прежнему имеет непростую форму, и уж точно не равняется нулю.Тем не менее, полученное уравнение Эйлера обеспечивает нулевую вариацию при нашем предположении.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

Lvov в сообщении #678301 писал:
Насчет аналитичности вопрос толковый. Действительно я не оговорил аналитичность функций в рассматриваемой области. Но эта особенность всегда подразумевается физиками в ограниченной пространственной области.

Someone:
Нет, не подразумевается.

Как всегда принимаем систему единиц $c=1,\,\,\hbar=1$. Спектральные Фурье-составляющие скалярных волновых функций в прямоугольных координатах имеет вид $\psi_p=a_p\exp(i\varepsilon t-ip^k x^k).$ Это аналитические функции.
Физики всегда имеют дело с ограниченными импульсами частиц. При этом в ограниченной области набор указанных спектральных функций конечен и характеризуется величиной импульсов $p<= p_{\max}.$ Очевидно, результирующая волновая функция, представляющая сумму спектральных функций, в этом случае также является аналитической.

Цитата:

type2b:
Уважаемый Lvov! Вам говорят совершенно правильные вещи про Ваш оператор. Точное утверждение состоит в том, что обязательно найдется гладкая бесконечно дифференцируемая функция, для которой Ваш ряд не сойдется.

Г. type2b, Вы, видимо не смотрели многие мои сообщения, посвященные данной проблеме. Поэтому повторюсь: в аспекте данной темы меня не интересует поведение рядов с частными производными вообще. Меня интересуют лишь конкретные указанные выше ряды, см. p675346 от 23.01 и p678047 от 30.01, в которые раскладывается рассматриваемый радикал-оператор. При этом показатели $p$ и $\varepsilon$ имеют ограниченные значения, а волновые уравнения для свободных частиц рассматриваются в ограниченной, возможно, достаточно большой области.

Был бы Вам весьма признателен, если бы Вы показали случай нелокальности или расходимости рассматриваемых рядов при указанных условиях.

С уважением О.Львов

[Someone]

Lvov в сообщении #678682 писал(а):

Ложным я считаю утверждение, что оператор-радикал, представляемый в виде указанных рядов не локален, в смысле размазывания каждой точки исходной функции или ее смещения по утверждению г.Someone.

Теорема Peetre утверждает, грубо говоря, что если $D$ - такой линейный оператор, что для каждой бесконечно дифференцируемой функции $\psi$ (с компактным носителем) носитель функции $D\psi$ содержится в носителе функции $\psi$, то $D$ - дифференциальный оператор конечного порядка.
Носителем функции называется замкнутое множество, вне которого функция равна нулю.
Из указанной теоремы сразу следует, что Ваш оператор не удовлетворяет условию локальности, то есть, существует бесконечно дифференцируемая функция $\psi$, которую Ваш оператор $D$ преобразует в функцию $D\psi$, которая не равна нулю там, где равна нулю сама функция $\psi$.

Lvov в сообщении #678682 писал(а):

Сначала предполагаем, что имеет место соотношение между производной $\partial \psi / \partial t$ и радикал-оператором, отвечающее нашему уравнению, а после определения уравнения Эйлера вариационным методом убеждаемся, что предполагаемое соотношение обеспечивает нулевое значение вариации, и, следовательно, является искомым уравнением.

Lvov в сообщении #678682 писал(а):

Разве в вариационном методе есть запрет на предположения о тех или иных соотношениях? В результате моего предположения лагранжиан по-прежнему имеет непростую форму, и уж точно не равняется нулю.Тем не менее, полученное уравнение Эйлера обеспечивает нулевую вариацию при нашем предположении

1) Ещё раз поясняю. Ваша ошибка имеет логическую природу и называется порочным кругом: чтобы доказать некоторое утверждение $A$, Вы делаете предположение, что утверждение $A$ верно, и используете это в доказательстве. Здесь совершенно не Важно, что разрешается и что не разрешается в вариационном исчислении.
2) В любой теории есть запрет на использование произвольных неизвестно откуда взявшихся соотношений.
3) Я не вижу в Ваших рассуждениях никакого уравнения Эйлера. Вы, используя произвольно взятое соотношение (именно то, которое хотите доказать), изменили первоначальный лагранжиан. Уравнение Эйлера для изменённого лагранжиана не совпадает с уравнением Эйлера для первоначального Лагранжиана (как минимум, Вы не доказали, что совпадает).
4) Да, в вариационном исчислении запрещается накладывать на функции какие-либо дополнительные ограничения (сверх тех, которые уже имеются в условии задачи).

Lvov в сообщении #678704 писал(а):

Очевидно, результирующая волновая функция, представляющая сумму спектральных функций, в этом случае также является аналитической.

То есть, Вы запрещаете рассматривать локализованные (в конечной области) электроны и позитроны? Указанные Вами функции "размазаны" по всему пространству.
Кроме того, это не важно. Теорема Peetre утверждает, что бесконечная дифференцируемость не спасает. В ней речь идёт как раз о бесконечно дифференцируемых функциях.

Lvov в сообщении #678704 писал(а):

Физики всегда имеют дело с ограниченными импульсами частиц. При этом в ограниченной области набор указанных спектральных функций конечен и характеризуется величиной импульсов $p<= p_{\max}.$

Это с какой стати?

(Оффтоп)

P.S. Обращаю Ваше внимание на то, что, когда автор дискуссионной теории начинает демонстративно "не понимать" своих оппонентов, тема довольно быстро попадает в Пургаторий. Как только модераторы дискуссионного раздела обращают внимание на данную тему.

[type2b]

Lvov в сообщении #678704 писал(а):

Г. type2b, Вы, видимо не смотрели многие мои сообщения, посвященные данной проблеме. Поэтому повторюсь: в аспекте данной темы меня не интересует поведение рядов с частными производными вообще. Меня интересуют лишь конкретные указанные выше ряды, см. p675346 от 23.01 и p678047 от 30.01, в которые раскладывается рассматриваемый радикал-оператор. При этом показатели $p$ и $\varepsilon$ имеют ограниченные значения, а волновые уравнения для свободных частиц рассматриваются в ограниченной, возможно, достаточно большой области.

Был бы Вам весьма признателен, если бы Вы показали случай нелокальности или расходимости рассматриваемых рядов при указанных условиях.

Поясню подробнее.
Пусть есть оператор $P(\partial_x)$, представляющий собой ряд, содержащий бесконечное число производных. Можете мысленно везде подставить Ваш ряд. Мы рассматриваем функцию $P(\partial_x)\psi(x)$, где $\psi$ -- бесконечно дифференцируема в нашей области. Этот оператор можно определить двумя способами:
а) можно прямо суммировать ряд из производных $\sum a_k \partial^k\psi$. Оператор локален по построению. Но определен ли он на всех беск. дифференцируемых функциях? Как Вам поясняет Someone, из теоремы Петри следует, что нет. Т.е. существует беск. диф. функция, при попытке действия на которую оператор не определен -- ряд разойдется. Это верно, в частности, для Вашего оператора; пример: функция, которая локально ведет себя как $\exp(2mx)$. Вы пытаетесь избавиться от проблемы обрезанием, но:
б) можно определить оператор через преобразование Фурье туда-обратно, посередине домножив на $P(ip)$. В таком случае возникающий ряд -- степенной, и условие сходимости -- range $p$ должен быть ограничен массой, поскольку таково условие сходимости ряда Тейлора для $\sqrt{1+p^2/m^2}$. Допустим, мы даже согласились на обрезание в принципе. Но в физической теории обрезание должно быть много больше масс интересующих нас частиц, так что обрезать на массе мы не можем. Вывод тот же -- оператор не определен.
Короче, класс функций, на которых он определен, нас совсем не устраивает.

предыдущая версия этого сообщения содержала не вполне верные формулировки

[g______d]

type2b в сообщении #678736 писал(а):

б) можно определить оператор через преобразование Фурье туда-обратно, посередине домножив на $P(ip)$. В таком случае возникающий ряд -- степенной, и условие сходимости -- range $p$ должен быть ограничен массой. Допустим, мы даже согласились на обрезание в принципе. Но! В физической теории обрезание должно быть много больше масс интересующих нас частиц(*), так что обрезать на массе мы не можем. Вывод тот же -- оператор не определен.

Не совсем. Оператор определен на всех гладких достаточно быстро убывающих на бесконечности функциях. Достаточно сделать преобразование Фурье (получится быстро убывающая функция), потом умножить на $\sqrt{p^2+m^2}$, без всяких рядов, потом сделать обратное преобразование Фурье. Проблема, как я говорил ранее, будет в том, что этот оператор не переводит функции с компактным носителем в функции с компактным носителем. Проще всего понять это, применяя оператор к $\delta(x)$. Тогда результатом будет обратное преобразование Фурье (в смысле обобщенных функций) от $\sqrt{m^2+p^2}$. Я точного ответа не помню, но совершенно точно эта штука много где не равна нулю.

Если не нравится $\delta(x)$, то можно взять функцию $f$, сосредоточенную в окрестности нуля, и представить в виде $f(x)=\int f(y)\delta(x-y)\,dy$. Потом вычислить значение оператора на $f$, применяя его к $\delta(x-y)$ в правой части. Получится некоторый интегральный оператор, который тоже не будет сохранять носитель функции.

[type2b]

дадада, как раз зашел, чтобы это дописать.
Если определять с умножением без рядов, на $\sqrt{p^2+m^2}$, то оператор определен, но по построению не локален. В смысле, локальность надо доказывать отдельно, и ее на самом деле нет.

-- Пт фев 01, 2013 06:12:46 --

точнее, если range $p$ меньше $m$, то, видимо, локален (доказывать разложением в ряд), но этот класс функций нас не устраивает. А на более широком классе он уже нелокален.

[g______d]

type2b в сообщении #678768 писал(а):

точнее, если range $p$ меньше $m$, то, видимо, локален (доказывать разложением в ряд)

Среди этих функций, видимо, вообще нет функций с компактным носителем, так что о локальности вообще сложно говорить (ну или она есть, но тривиальна, т. к. носитель уже некуда увеличивать).

[Lvov]

Цитата:

Lvov в сообщении #678301 писал:
Г. Мунин, не можете ли Вы назвать конкретный справочник, где есть сведения о рассматриваемом операторе?

Munin:
О господи. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. - ФМЛ, 2001.

g______d:
Да нет никаких проблем с определением корня из положительного оператора ($m^2-\Delta$ таким является). Это описано в десятках учебников. Никаких "формальных линейных операторов" здесь не нужно, это не та область, в которой такие процедуры не обоснованы. Проще всего это делается через преобразование Фурье.

Увы, я не нашел ничего о рассматриваемых уравнениях в указанном справочнике Полянина А.Д.

Г. g______d, не можете ли Вы указать один из доступных учебников, о которых Вы говорите?
Меня очень интересует, каким образом получают сходящийся ряд "через преобразование Фурье" без "формальных линейных операторов".
Ведь я и в некоторой степени использую метод Фурье, говоря о спектральных составляющих искомого решения.

С уважением О.Львов