Волновая природа микромира

[espe]

Lvov в сообщении #677147 писал(а):

Вариационная методика дает отрицательное значение плотности заряда для электронного поля и положительное - для позитронного.

Может я не правильно понял, что Вы хотите, но можно просто не меняя лагранжианы и уравнения движения для свободных полей приписать полям $\psi_e$ и $\psi_p$ разные константы взаимодействия $q_1$ и $q_2$ и получить плотность заряда

$$j^0\sim q_1\bar{\psi}_e\gamma^0\psi_2+ q_2\bar{\psi}_p\gamma^0\psi_p=q_1\psi_e^+\psi_e+q_2\psi_p^+\psi_p.$$

Выбираете $q_2=-q_1=e$ и получаете свой результат — плотности зарядов с противоположным знаком.

[JoAx]

Munin в сообщении #675925 писал(а):

Насколько я помню, пренебрежение двумя "квантовыми" воздействиями: сильным и слабым, прежде всего.

Может это и не верно, но я оцениваю это как следствие, а не причину. ЭПР это вполне здоровая, конструктивная критика, хоть и не в его пользу. Не то что некоторые современные ..., ну вы сами знаете. Он в результате своей неприязни к КМ конечно остался как бы в стороне, ну - "he did it his way".
А действительно "дурных идей" я у него (пока) не замечал.

Munin в сообщении #675925 писал(а):

И наконец, ещё до того, как эти теории были созданы в окончательном виде, путь к ним пошагово прокладывался через постепенные модификации и наращивания квантовых моделей, а от классических моделей такой путь постепенных улучшений неизвестен. Может быть, пришлось бы прыгать к ним одним шагом, одной супер-гениальной догадкой, более мощной, чем та, что понадобилась для общей теории относительности.

Это всё мне очень интересно. "Намёк" думаю понял, но познать пока не в состоянии - не дорос.

Вот Лоренц, можно сказать, тоже пошагово пришёл к математике которая используется и в СТО. Но тут, насколько я понимаю, напрямую сравнивать нельзя. Верно?

[Lvov]

Цитата:

espe:
...можно просто не меняя лагранжианы и уравнения движения для свободных полей приписать полям $\psi_e$ и $\psi_p$ разные константы взаимодействия $q_1$ и $q_2$ и получить плотность заряда

$$j^0\sim q_1\bar{\psi}_e\gamma^0\psi_2+ q_2\bar{\psi}_p\gamma^0\psi_p=q_1\psi_e^+\psi_e+q_2\psi_p^+\psi_p.$$

Именно, примерно так и делают со времен введения уравнений Дирака, используя единственное уравнение его имени. Но ведь не только со знаком заряда нелады, но и со знаком плотности энергии та же история. Поэтому для исправления положения придумали, так называемые "нормальные произведения" операторов полей.
Использование же отдельных уравнений дираковского типа для описания электронов и позитронов позволяет применять классическую вариационную теорию поля без всяких ухищрений. При этом появляются, казалось бы "лишние" отрицательноэнергетические решения, но они находят применение при развитии квантовой теории.

Еще замечу, что плотность полного тока электронного или позитронного поля разлагается на две составляющие, первая связанна с переносом зарядов частиц, а вторая связанна с неоднородностью распределения магнитного (точнее магнитоэлектрического) момента поля. В лагранжиане взаимодействующих электронного (позитронного) и электромагнитного полей этим составляющим отвечают два различных члена взаимодействия полей. Не буду здесь выписывать длинные формулы, их Вы с поясняющим текстом можно увидеть в статье 10 публикации (это формула (13) для лагранжиана и формулы (19) правя часть выражения и (20) для плотности токов).

С уважением О.Львов

[espe]

Lvov в сообщении #677507 писал(а):

При этом появляются, казалось бы "лишние" отрицательноэнергетические решения, но они находят применение при развитии квантовой теории.

И какое применение они находят?

[Munin]

JoAx в сообщении #677487 писал(а):

ЭПР это вполне здоровая, конструктивная критика, хоть и не в его пользу.

ЭПР - это одно, а "единая теория поля" - это другое. Да, мнение о пренебрежении современными ему квантовыми теориями взаимодействий могло происходить из одних мыслей Эйнштейна как следствие, но на другие мысли оно влияло как причина.

JoAx в сообщении #677487 писал(а):

Это всё мне очень интересно. "Намёк" думаю понял, но познать пока не в состоянии - не дорос.

А чего тут с намёками возиться? Надо смотреть, как реально шла мысль. Есть воспоминания конкретных учёных, например, Вайнберга. Есть исторические справки и отступления в учебниках - например, в Вайнберге, Ициксоне-Зюбере, Ченге-Ли, рассыпанное по другим книгам (не помню, где-то у Окуня, где-то, может быть, у Хелзена-Мартина и т. д.). Есть исторические книги, статьи и обзоры - что-то в УФН, или вот книжка Абрамов А. И. "История ядерной физики". Из этого всего что-то складывается и вырисовывается.

JoAx в сообщении #677487 писал(а):

Вот Лоренц, можно сказать, тоже пошагово пришёл к математике которая используется и в СТО. Но тут, насколько я понимаю, напрямую сравнивать нельзя. Верно?

Да нет, хорошая аналогия. И шаги тут прослежены историками очень тщательно, и по его публикациям видны. (Нельзя забывать и о публикациях Пуанкаре, буквально сделавшего последний шаг в цепочке шагов Лоренца.) Правда, тут задача намного проще, и цепочка получилась "уже".

[Someone]

Ну, в общем, критические вопросы о локальности и о том, как уравнения Lvovа получаются из его лагранжиана, содержащего производные всех порядков, успешно заболтаны.

[g______d]

На странице 14 книги Бьёркена и Дрелла "Релятивистская квантовая теория", кстати, упоминается этот вариант с корнем и тоже говорится, что он нелокален и все плохо.

[Lvov]

Цитата:

espe:
И какое применение они (отрицательно-энергетические решения электронного и позитронного уравнения, Lv) находят?

Для создания корректной модели вакуумных электронно-позитронных случайных полей, для описания волны дефицита электронного (позитронного) поля при редукции волновой функции, для более точного описания электронов и позитронов. при котором к "большому" положительно-энергетическому решению электронного уравнения добавляется "малое" отрицательно-энергетическое решение позитронного уравнения с той же частотой, и то же самое для позитронов.

Цитата:

Someone:
Ну, в общем, критические вопросы о локальности и о том, как уравнения Lvovа получаются из его лагранжиана, содержащего производные всех порядков, успешно заболтаны.

g______d:
На странице 14 книги Бьёркена и Дрелла "Релятивистская квантовая теория", кстати, упоминается этот вариант с корнем и тоже говорится, что он нелокален и все плохо.

Бьёркен и Дрелл, конечно авторитеты, но мы-то и свои головы имеем. Какую нелокальность Вы увидели? Я не убедил Вас, что рассмотренный ряд на основе вторых производных корректен при $p<m$? Это дает право применять его для большого круга задач с нерелятивистскими скоростями частиц.
Далее я указал, что можно применить другое разложение в ряд при $p>m$ на основе парных интегралов. Вы не поинтересовались подробностями, и, похоже, напрасно. Объясню кратко на словах. Представим наше решение в виде суммы спектральных составляющих, и отдельно займемся членами с $p>m.$
Раскладываем радикал в ряд по степеням $m^2/(\partial^2/ \partial x_k^2).$ При этом за исключением первого члена, частные производные второго порядка оказываются в знаменателе. Операторные величины указанного вида представляем в форме парного интеграла

$$m^2 \int dx^k\int dx^k,$$

где верхние пределы интегралов равны $x^k,$ а нижние $i \infty.$ В результате применения последнего оператора каждая спектральная составляющая умножается на величину $m^2/p^2,$ и мы снова получаем ряд, сходящийся к нашему оператору-радикалу.
Вы скажите, зачем такие премудрости, не проще ли решать исходное уравнение второго порядка для области положительных и отрицательных частот? Мой ответ: это необходимо лишь при теоретическом анализе УКГ, чтобы показать, что оно разложимо на два уравнения первого порядка по времени.

Господа математики, в результате успешного исследования уравнения Дирака на предмет поиска новых сохраняющихся показателей, у меня возникает вопрос. Нам известны автоморфные непрерывные канонические пространственные преобразования вида координатных смещений и поворотов, первое из которых описывается вектором $\Delta x^i,$ а второе антисимметричным тензором $\varepsilon^{ij}.$ Для пространств с размерностью $n<4$ этих преобразований, видимо, достаточно? Но нет ли принципиально новых преобразований для пространств большей размерности, в частности для 4-пространства СТО? Например, такого рода: поворот на некоторый угол вокруг каждой из координатных ортогональных осей 3-подпространства, дополняющего рассматриваемую координату.
Подробнее о новом сохраняющемся показателе электрона и предполагаемой его ассоциации с некоторым каноническим преобразованием я расскажу в следующем сообщении.

С уважением О.Львов

[Lvov]

Цитата:

Lvov:
Подробнее о новом сохраняющемся показателе электрона и предполагаемой его ассоциации с некоторым каноническим преобразованием я расскажу в следующем сообщении.

В этом сообщении, продолжающим анализ уравнения Дирака, я хочу указать на существование новых, до конца не понятых мной показателей электрона. Возможно, участники форума помогут мне разобраться.
Речь идет, прежде всего, о сохраняющемся для свободного электрона (спиновом?) динамическом показателе, определяемом следующими тензорами и операторами:

$$S^{ik}=\frac \hbar 2 \left(\frac {\partial \bar{\psi}}{\partial x^k}\gamma^i\gamma^5\psi-\bar{\psi} \gamma^i\gamma^5\frac{\partial \psi}{\partial x^k}+\frac{2ie}{\hbar c}A_k\bar{\psi} \gamma^i\gamma^5\psi\right),\,\,\,(1)$$

где $\gamma^5=\gamma^1\gamma^2\gamma^3\gamma^4$.
Не трудно проверить, что истоки (псевдо)тензора (1) удовлетворяют соотношению

$$\frac{\partial S^{ik}}{\partial x^k} =F^{ik}\Pi^k,\,\,(2)$$

где показатель $\Pi^i=\frac{ie}{c}\bar{\psi} \gamma^i\gamma^5\psi$ можно назвать (псевдо)вектором спиновой поляризации(?) электронного поля.
Рассматриваемые здесь показатели $S^{ik}$, $S^i$ и $\Pi^i$ я называю спиновыми на том основании, что в случае свободного покоящегося электрона с единственной ненулевой компонентой спинора $\psi^1$ (направление спина вдоль оси $x^3$), отлична от нуля лишь одна их компонента, отвечающая индексам $i=3, k=0$.

На основании локального соотношения (1) может быть определен интегральный показатель

$$S^i=\int S^{i0}dV$$

- (псевдо)вектор спина(?) электрона . Ввиду того, что при отсутствии электромагнитного поля истоки (псевдо)тензора спина (1) равны нулю, можно говорить о сохранении (псевдо)вектора спина свободного электрона.

Оператор спина свободного электрона, определяемый на основании выражения (1), имеет следующий вид:

$$\hat{S}=\frac \hbar 2 (\frac {mc} {\hbar} - \gamma^k \frac {\partial}{\partial x^k})\gamma^i\gamma^5,$$

а оператор спиновой поляризации электрона - $\hat{\Pi}^i=\gamma^0\gamma^i\gamma^5$.
При использовании последнего оператора может быть определен вектор средней поляризации электрона в некотором состоянии - $\Pi^i$.
Для пространственных компонент векторов $S^i$ и $\Pi^i$ при наличии постоянного магнитного поля справедливо выражение $\frac{d\vec S}{dt}=\vec H \times\vec{\Pi}$, которое описывает ларморову прецессию электрона.

Может показаться, что пространственная часть вектора спина совпадает с аксиальным вектором, построенным на основе пространственной части тензора спинмомента, и вектор спина не является новым динамическим объектом. Действительно, такая ситуация имеет место при рассмотрении свободного электрона в системе координат его покоя.
Однако в общем случае это не так. Более того, при рассмотрении компонент $\psi^3$ или $\psi^4$ в качестве основных компонент электронного поля знак вектора спина противоположен знаку соответствующей компоненты тензора спинмомента. Что же касается размерности вектора спина электрона, то представляется целесообразным выбрать ее совпадающей с размерностью дуального ему вектора энергии-импульса электрона, что и сделано при выборе постоянного множителя перед функциональной частью формулы (1).

Как известно из теоремы Нётер, каждому каноническому преобразованию системы координат ставится в соответствие некоторый сохраняющийся показатель поля частицы. Предполагая, что верно и обратное утверждение, я и ставлю вопрос, не существует ли каноническое преобразование координат, описываемое псевдовектором 4-пространства (полностью антисимметричным тензором третьего ранга), отвечающее закону сохранения нового(?) динамического показателя электрона, который я называю (псевдо)вектором спина?

С уважением О.Львов

[Someone]

Lvov, Вы продолжаете "забалтывание" вопросов, критических для Вашей теории.

Ещё раз.
Рассмотрим линейный оператор $A$, который определяется так: $Af=g$, если $g(x)=f(x+a)$ (оператор сдвига аргумента). При $a\neq 0$ он, очевидно, не является локальным: чтобы определить значение функции $g=Af$ в точке $x$, мы должны знать значение функции $f$ в точке $x+a$.

Предположим, что функция $f(x)$ является аналитической, и что радиус сходимости её ряда Тейлора в точке $x$ больше $a$. Тогда мы можем представить оператор $A$ как показательную функцию от оператора дифференцирования: $A=e^{a\frac d{dx}}$ (http://dxdy.ru/post674074.html#p674074). Этот эффект связан с теоремой единственности аналитической функции.

Таким образом, в некоторых случаях нелокальный оператор может выражаться через значения функции и всех её производных в одной точке.

Lvov, объясните пожалуйста, чем это отличается от Вашего случая. Только не "бла-бла-бла", а покажите вычислениями. Укажите форму записи Вашего оператора, годную не только для аналитических функций (хорошо известно, что в физике ограничение аналитическими функциями является слишком жёстким), и покажите, что во всех случаях для нахождения $Af(x)$ не нужно обращаться к точкам, отличным от $x$.

[g______d]

Lvov в сообщении #677830 писал(а):

Бьёркен и Дрелл, конечно авторитеты, но мы-то и свои головы имеем. Какую нелокальность Вы увидели?

Да 10 раз уже говорил. Лагранжиан, отвечающий уравнению с корнем, не физичен, потому что физические лагранжианы содержат производные только конечных порядков (что более-менее соответствует локальности). Более того, я склоняюсь к мысли, что Вы сами не можете получить уравнение с корнем из лагранжиана.

Lvov в сообщении #677830 писал(а):

Вы скажите, зачем такие премудрости, не проще ли решать исходное уравнение второго порядка для области положительных и отрицательных частот? Мой ответ: это необходимо лишь при теоретическом анализе УКГ, чтобы показать, что оно разложимо на два уравнения первого порядка по времени.

Факторизация уравнения Клейна-Гордона --- тривиальный факт, который можно получить кучей разных способов. Проще всего --- перейдя в импульсное представление. Проблема с физической интерпретацией компонент факторизации. У Дирака она есть, а у Вас --- нет (под физической интерпретацией я понимаю получение уравнений из лагранжиана).

[Lvov]

Цитата:

Lvov в сообщении p677830 писал:
Раскладываем радикал в ряд по степеням $m^2/(\partial^2/ \partial x^2).$ При этом за исключением первого члена, частные производные второго порядка оказываются в знаменателе. Операторные величины указанного вида представляем в форме парного интеграла

$$m^2 \int dx^k\int dx^k,$$

где верхние пределы интегралов равны $x^k,$ а нижние $i \infty.$ В результате применения последнего оператора каждая спектральная составляющая умножается на величину $m^2/p^2,$ и мы снова получаем ряд, сходящийся к нашему оператору-радикалу.

Господа математики, спешу покаяться. Не дает мой двойной интеграл с суммированием по повторяющимся индексам указанного результата $m^2/p^2.$ В связи с этим я предлагаю ввести новый формальный линейный оператор $(\frac {\partial^2} {\partial x_k^2})^{-1}$, который при действии на некоторую функцию $f(y(p^kx^k))$ дает результат

$$\frac {d^2 f(y)} {dy^2}/ \frac {\partial^2 y} {\partial x_k^2}.$$

Касательно получения уравнений из предложенных лагранжианов, поговорим завтра.

С уважением О.Львов

[g______d]

Да нет никаких проблем с определением корня из положительного оператора ($m^2-\Delta$ таким является). Это описано в десятках учебников. Никаких "формальных линейных операторов" здесь не нужно, это не та область, в которой такие процедуры не обоснованы. Проще всего это делается через преобразование Фурье.

В одиннадцатый раз повторю. Проблема в другом: если действие содержит $\sqrt{m^2-\Delta}\varphi$, то плотность лагранжиана в точке $x$ не выражается через значение функции $\varphi$ в точке $x$ и конечное число ее производных в точке $x$. В этот состоит нелокальность и нефизичность. То, что не выражается, --- это вполне строгий математический факт. Например, он следует из теоремы Петре (Peetre Theorem).

[Munin]

Этот формальный линейный оператор известен, и он интегральный - нелокальный. Называется функция Грина, пропагатор или фундаментальное решение. Приведён в справочниках по уравнениям матфизики, имеет разный вид для разных размерностей пространства.

[Lvov]

Цитата:

Someone:
Lvov, Вы продолжаете "забалтывание" вопросов, критических для Вашей теории.

Вот уж, как говорится, с больной головы - на здоровую. Г.Someone, давайте рассматривать исключительно предлагаемые мною ряды для оператора-радикала. Давайте рассматривать функции не вообще, а достаточно гладкие функции, отвечающие волновым уравнениям квантовой теории. И не надо говорить о вопросах, "критических для моей теории", в то время, когда мы с Вами рассматриваем второстепенный вопрос, не играющий заметной роли в моей теории дискуссионного плана, т.е. гипотезе, названной "Волновая природа микромира".

Цитата:

g______d:
Да 10 раз уже говорил. Лагранжиан, отвечающий уравнению с корнем, не физичен, потому что физические лагранжианы содержат производные только конечных порядков (что более-менее соответствует локальности). Более того, я склоняюсь к мысли, что Вы сами не можете получить уравнение с корнем из лагранжиана.

От того, что Вы 10 раз повторите ложное утверждение, его убедительность не изменится. Касательно лагранжианов Вы меня основательно заели.
Придется доказывать, что из них следуют мои уравнения. Еще раз напомню, что за мнемоническим радикал-оператором скрываются указанные мною сходящиеся ряды из производных, а спектральные составляющие рассматриваемых волновых функций имеют вид $\pst_p=a\exp(i\varepsilon t-ip^k x^k).$ Здесь и далее $k=1, 2, 3.$

Предлагаемые лагранжианы

$$L_\pm=\frac 1 2 \left(\frac {\partial \psi ^*} {\partial x^k} \frac {\partial \psi} {\partial x^k}\mp \frac i 2 \frac {\partial \psi ^*} {\partial x^0} \sqrt{m^2-\frac {\partial ^2} {\partial x^2_k} }\psi \pm\frac i 2 \sqrt{m^2-\frac {\partial ^2} {\partial x^2_k} }\psi ^* \frac {\partial \psi} {\partial x^0} - m^2\psi ^*\psi \right).$$

Сначала займемся лагранжианом с верхними знаками знаковых дублетов. Предположим, что выполняется первое из рассмативаемых волновых уравнений

$$\left(i\frac {\partial}{\partial x_0}+\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_k}}\right)\psi=0.$$

Тогда лагранжиан принимает вид

$$L_+=\frac 1 2 \left(\frac {\partial \psi ^*} {\partial x^k} \frac {\partial \psi} {\partial x^k} - \frac {\partial \psi ^*} {\partial x^0} \frac {\partial \psi } {\partial x^0} - m^2\psi ^*\psi \right).$$

Это известный лагранжиан уравнения второго порядка Клейна-Гордона. Но из сообщения p674061стр. 8, нам известно соотношение

$$\left(i\frac {\partial}{\partial x_0}-\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_k}}\right)\,\left(i\frac{\partial}{\partial x_0}+\sqrt{m^2-\frac{\partial^2}{\partial x^2_k}}\right)\,\psi\,=$$

$$=\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2_k}\,-\frac{\partial^2}{\partial x^2_0}\,-\,m^2\right)\psi\,=0.$$

Т.е. оператор левой части УКГ равняется произведению операторов левых частей рассматриваемых уравнений первого порядка.
Однако, ввиду нашего предположения, о справедливости уравнения первого порядка, мы имеем в левой части величину 0 уже после его применения в последнем равенстве, и первый левый оператор не изменяет положения. Таким образом, справедливость нашего предположения о выполнении первого уравнения подтверждается конечным результатом определения уравнения по лагранжиану.
Справедливость второго из рассмотренных уравнений доказывается аналогичным образом.

В заключение замечу, что при данной проверке вновь были обнаружены ошибки-описки в знаках перед отдельными членами лагранжианов. Так что дебаты явно идут мне на пользу. Однако указанные ошибки нахожу я сам под давлением оппонентов, требующих детального освещения выкладок.

Господа оппоненты, пожалуйста дайте веб-ссылки на литературу, где утверждается, что радикал- оператор, представляемый указанными мною рядами некорректен. Конечно, я и сам пороюсь в интернете, но не уверен в успехе.

С уважением О.Львов