И открыто, и замкнуто в R^n

[Maximum]

Почему подмножество $\mathbb{R}^{n}$, которое не пусто и не $\mathbb{R}^{n}$, не может быть и открыто, и замкнуто в $\mathbb{R}^{n}$ одновременно?

[Brukvalub]

Потому, что $\mathbb{R}^{n}$ линейно связно, следовательно - связно

[Maximum]

Спасибо за основную мысль!

То есть доказательство такое. Предположим, что $A\neq\mathbb{R}^{n},A\neq\emptyset, A\subset\mathbb{R}^{n}$ открыто и замкнуто в $\mathbb{R}^{n}$ одновременно. Но тогда $\mathbb{R}^{n}\setminus A\neq\emptyset$ замкнуто и открыто в $\mathbb{R}^{n}$. Значит, $\mathbb{R}^{n}$ представимо в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых множеств. Поэтому $\mathbb{R}^{n}$ несвязно. Противоречие.

[Brukvalub]

Да, хотя мне не совсем понятна Ваша символика.

[Maximum]

Отредактировал. Я не знал, как в латехе разность множеств написать, оказывается \setminus. С дуру просто backslash поставил.