2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 И открыто, и замкнуто в R^n
Сообщение29.05.2007, 09:41 
Почему подмножество $\mathbb{R}^{n}$, которое не пусто и не $\mathbb{R}^{n}$, не может быть и открыто, и замкнуто в $\mathbb{R}^{n}$ одновременно?

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 09:47 
Аватара пользователя
Потому, что $\mathbb{R}^{n}$ линейно связно, следовательно - связно :D

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 21:06 
Спасибо за основную мысль!

То есть доказательство такое. Предположим, что $A\neq\mathbb{R}^{n},A\neq\emptyset, A\subset\mathbb{R}^{n}$ открыто и замкнуто в $\mathbb{R}^{n}$ одновременно. Но тогда $\mathbb{R}^{n}\setminus A\neq\emptyset$ замкнуто и открыто в $\mathbb{R}^{n}$. Значит, $\mathbb{R}^{n}$ представимо в виде объединения двух непересекающихся непустых открытых множеств. Поэтому $\mathbb{R}^{n}$ несвязно. Противоречие.

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 21:11 
Аватара пользователя
Да, хотя мне не совсем понятна Ваша символика.

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 21:18 
Отредактировал. Я не знал, как в латехе разность множеств написать, оказывается \setminus. С дуру просто backslash поставил.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group