Такое неравенство.

[Vvp_57]

Докажите, что
$2\sqrt[7]{2}-\sqrt[7]{64}<\frac{2}{5}$

[Shadow]

Опять подходящими дробями? ОК
$\\2^{\frac 8 7}<\frac{11}{5}\\ 2^{\frac 6 7}>\frac{9}{5}$
Кто не верит пусть возводит в 7-ой степени

-- 26.01.2013, 09:54 --

первое неверно, но близко. не хочется брать следующие

[Vvp_57]

Shadow
Нет, не ОК. В таком случае нужно написать как
Вам удалось найти значение $\sqrt[7]{2}$, а
так же и $\sqrt[7]{64}$.
Или Вам известен способ разложения $\sqrt[7]{a}$ в цепную дробь,
в общем виде?

[Sonic86]

$\Leftrightarrow \sqrt[7]{2}-\frac{1}{\sqrt[7]{2}}<\frac{1}{5}\Leftrightarrow \sqrt[7]{2}<\frac{1+\sqrt{101}}{10}\Leftarrow \sqrt[7]{2}<1,1+\frac{1}{210}\Leftarrow \sqrt[7]{2}<1,105$.
Последнее можно получить одной итерацией методом Ньютона для $f(x)=x^7-2$ с начальным приближением $x_0=1,1$. Применение метода Ньютона будет корректно, если $\sqrt[7]{2}<1,1$, что нетрудно проверить вычислением $1,1^7$ с помощью бинома Ньютона:
$1,1^7>1+7\cdot 0,1+21\cdot 0,01+105\cdot 0,001>1+0,7+0,21+0,1=2,01$.
Итерацию метода Ньютона $x_{n+1}=\frac{6}{7}x_n+\frac{2}{7x_n^6}$ для $x_0=1,1$ надо, видимо, честно считать.

(Оффтоп)

А вообще, в чем глубокий смысл таких задачек? Научиться быстро находить хорошие рациональные приближения для алгебраических чисел?

[vorvalm]

$2^{8/7}-2^{6/7}=2^{6/7}\cdot 3>1$

[ewert]

$$x=0.1+\sqrt{1.01}>1.104;\ \ \ x^2=1.02+0.2\sqrt{1.01}>1.22;\ \ \ x^4=1.0808+0.408\sqrt{1.01}>1.49;$$

$$x^7>1.22\cdot1.49\cdot1.104=1.8178\cdot1.104>2.$$

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #676363 писал(а):

А вообще, в чем глубокий смысл таких задачек?

Вообще никакого смысла.

[Shadow]

Неравенство $2\cdot 10^7<(\sqrt{101}+1)^7$ можно доказать если с авансом заменять $(\sqrt{101})^{2k+1} \text { на } 10\cdot 101^k$
Четыре члена кажется достаточны. Гадость.

[vorvalm]

Я извиняюсь, написал ошибочно.
"И на старуху бывает проруха".

[Vvp_57]

(Оффтоп)

А если бы потребовалось доказать:$2\sqrt[7k]{2}-\sqrt[7k]{2^{7k-1}}<\frac{2}{5k}$?

[ewert]

(Оффтоп)

Vvp_57 в сообщении #676414 писал(а):

А если бы потребовалось доказать:$2\sqrt[7k]{2}-\sqrt[7k]{2^{7k-1}}<\frac{2}{5k}$?

А вот для этого и нужно сперва доказать для $k=1$, тогда для всех остальных всё следует из выпуклости. В обратную же сторону -- увы.

[vorvalm]

Предлагаемое ТС неравенство можно свести к

$\sqrt[7]2(\sqrt[7]2-0,2)<1$

[ewert]

Шило на мыло -- всё равно придётся считать этот корень с точностью до трёх знаков. Предыдущая версия (обсосанная с разных сторон) хотя бы подсказывала, от чего можно оттолкнуться.

[TR63]

Верхняя граница корня находится из неравенства:
$x^4-x^3<\frac2 5$
$x=\sqrt[7]4<1,22$
Теперь доказываем логически, что $1,2<x<1,22$. Пропускаю. Далее, записываем усиленное неравенство:
$1,22^4-1,2^3<0,4$. Проверяем.

ewert в сообщении #676424 писал(а):

(Оффтоп)

Vvp_57 в сообщении #676414 писал(а):

А если бы потребовалось доказать:$2\sqrt[7k]{2}-\sqrt[7k]{2^{7k-1}}<\frac{2}{5k}$?

А вот для этого и нужно сперва доказать для $k=1$, тогда для всех остальных всё следует из выпуклости. В обратную же сторону -- увы.

[/quote
].
ewert,
для $ k=1$ неравенство доказано. Как из выпуклости следует, что для всех остальных доказано. (Проверяла на wolframe). Не знаю, в данном случае, ему можно доверять?
В общем виде неравенство становится интересным.
[off] Можно строить новые гипотезы, или опровергнуть старые.[\off]

-- 28.01.2013, 14:31 --

Исправление: верхняя граница
$x=1,22018$

[ewert]

TR63 в сообщении #677188 писал(а):

Как из выпуклости следует, что для всех остальных доказано.

После очевидных преобразований получим $\sh\left(\dfrac{\ln 2}{7k}\right)<\dfrac1{10k}$. Гиперболический синус -- выпуклая вниз функция. Поэтому раз уж неравенство верно для $k=1$, то оно тем более верно для всех бОльших $k$ (т.е. для всех меньших аргументов).

[TR63]

Посмотрела график гиперболического синуса. Яснее не стало. Поняла, что функция монотонно возрастающая. Т. е. при росте k левая часть неравенства убывает. Это хорошо. Но и правая убывает. Мне не понятно, почему она убывает быстрее. Это надо доказать. Откуда это следует?