Такое неравенство.

[ewert]

Вторая производная гиперболического синуса положительна (при положительных иксах)

[Vvp_57]

ewert в сообщении #676424 писал(а):

.....
А вот для этого и нужно сперва доказать для $k=1$, тогда для всех остальных всё
следует из выпуклости. В обратную же сторону -- увы.

Не совсем понятно, в обратную сторону. Вы же можете попробовать дроби
$\frac{6}{7}$, $\frac{5}{7}$,....Ведь число $7$, здесь, случайная не случайность.

[TR63]

Правильно ли я рассуждаю:
Вторая производная правой части неравенства положительна. Следует определить знак разности. Он должен быть непрерывным, чтобы знак разности первых производных был непрерывным. Тогда можно судить о знаке исходного неравенства. (Возможно, подзабыла. Поправьте, если не так.)
Но почему wolfram не даёт непрерывности? Или у него такие маленькие возможности? Что-то здесь не так.

-- 28.01.2013, 17:55 --

Vvp_57, я тоже думаю, что семёрка здесь не случайность. (У меня есть идея, но пока помолчу).

[ewert]

Vvp_57 в сообщении #677247 писал(а):

Не совсем понятно, в обратную сторону.

Невозможно доказать для всех $k$ и уже как следствие получить для $k=1$. Именно потому, что семёрка -- специфична.

[TR63]

Именно из-за "специфичности" радикала седьмой степени нельзя доказать неравенство в общем виде.

[vorvalm]

Т.к. исходное неравенство ТС приводится к виду
$\sqrt[7]{2}(\sqrt[7]{2}-0,2)<1$, то рассмотрим это неравенство в виде
$[\sqrt[7]{2}(\sqrt[7]{2}-0,2)]^\frac 1 {x}<[1]^\frac 1{x}$ при $x\rightarrow\infty$, т.е.
$\lim2^\frac 1{x}(2^\frac 1{x}-\varepsilon)=1-\varepsilon<1$

[Shadow]

vorvalm, что изменится в вашем доказательстве, если заменить 0.2 на 0.19?

[vorvalm]

Это изменит исходное неравенство.

[nnosipov]

vorvalm в сообщении #678693 писал(а):

Т.к. исходное неравенство ТС приводится к виду
$\sqrt[7]{2}(\sqrt[7]{2}-0,2)<1$, то рассмотрим это неравенство в виде
$[\sqrt[7]{2}(\sqrt[7]{2}-0,2)]^\frac 1 {x}<[1]^\frac 1{x}$ при $x\rightarrow\infty$, т.е.
$\lim2^\frac 1{x}(2^\frac 1{x}-\varepsilon)=1-\varepsilon<1$

С таким текстом "доказательства" только на пересдачу.

[vorvalm]

Да, слабым местом здесь является "\varepsilon$".

[malk]

2^{8/7}-2^{6/7}=2\cdot(2^{1/7}-2^{-1/7})
2^{1/7}-2^{-1/7}=\alpha

2^{2/7}-2+2^{-2/7}=\alpha^2
2^{2/7}+2^{-2/7}=\alpha^2+2
2^{4/7}+2+2^{-4/7}=\alpha^4+4\alpha^2+4
2^{4/7}+2^{-4/7}=\alpha^4+4\alpha^2+2
(2^{2/7}+2^{-2/7})\cdot(2^{4/7}+2^{-4/7})=(\alpha^2+2)\cdot(\alpha^4+4\alpha^2+2)
2^{6/7}+2^{2/7}+2^{-2/7}+2^{-6/7}=(\alpha^2+2)\cdot(\alpha^4+4\alpha^2+2)
2^{6/7}+2^{4/7}+2^{2/7}+2^{-2/7}+2^{-4/7}+2^{-6/7}=(\alpha^2+3)\cdot(\alpha^4+4\alpha^2+2)

(2^{6/7}+2^{4/7}+2^{2/7}+1+2^{-2/7}+2^{-4/7}+2^{-6/7})=(\alpha^2+3)\cdot(\alpha^4+4\alpha^2+2)+1
2^1-2^{-1}=3/2=\alpha((\alpha^2+3)\cdot(\alpha^4+4\alpha^2+2)+1)
(1/5)((1/25+3)(1/625+4/25+2)+1) = (1/5)((1/25+3)(101/625+2)+1)=
=(1/5)(101/(25\cdot625)+2/25+303/625+7)>(1/5)(353/625+7)>
>(1/5)(7.5)=1.5
1/5>\alpha

[Vvp_57]

malk
Спасибо, за доказательство!

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #676340 писал(а):

Докажите, что
$2\sqrt[7]{2}-\sqrt[7]{64}<\frac{2}{5}$

Можно так (восполнить детали реализации оставляю желающим):
$2\sqrt[7]{2}$ является корнем многочлена $f(x)=x^7 - 256$;
$-\sqrt[7]{64}$ является корнем мноночлена $g(x) = x^7 + 64$;
легко построить многочлен $h(x)$ (степени 49), корнями которого в точности являются суммы корней $f(x)$ и $g(x)$;
используя теорему Штурма, нетрудно убедиться, что на интервале $(0,\frac{2}{5})$ у многочлена $h(x)$ имеется действительный корень (который не может быть ничем иным как $2\sqrt[7]{2}-\sqrt[7]{64}$).

[Vvp_57]

maxal
Спасибо, удивлен, что так можно доказать это неравенство.

(Оффтоп)

К сожалению, я мало что знаю о теореме Штурма, но пытаясь найти коэффициенты многочлена(49 степени):
$h(x)=x^{49}-1344x^{42}[phone]x^{35}[phone]x^{28}+....-9618527719784448$
нашел такое уравнение:
$x^7+28x^5+224x^3+448x-192=0$
возможно оно упростит нахождение ряда функций Штурма.

[maxal]

Vvp_57 в сообщении #681368 писал(а):

нашел такое уравнение:
$x^7+28x^5+224x^3+448x-192=0$
возможно оно упростит нахождение ряда функций Штурма.

Метод Штурма реализован в PARI/GP:

? ?polsturm()
polsturm(pol,{a},{b}): number of real roots of the squarefree polynomial pol in the interval ]a,b] (which are respectively taken to be -oo or +oo when omitted).
? polsturm(x^7+28*x^5+224*x^3+448*x-192)
%1 = 1
? polsturm(x^7+28*x^5+224*x^3+448*x-192,0,2/5)
%2 = 1