Найти геометрический смысл линейного преобразования

[Fafner]

Добрый день. Дана следуйщая задача.
Пусть $\mathbf{x}$ - произвольный вектор, $\mathbf{a}, \mathbf{n}$ - фиксированые ненулевые вектора геометрического пространства (двумерного или тримерного). Проверить линейность преобразования $\varphi$ заданого следуйщими формулами и понять его геометрический смысл, если:
$1) \varphi (\mathbf{x})=(\mathbf{x},\mathbf{a}) \frac {\mathbf{a}} {|\mathbf{x}|^2};$
$2) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-(\mathbf{x},\mathbf{n}) \frac {\mathbf{n}} {|\mathbf{x}|^2};$
$3) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-\frac {(\mathbf{x},\mathbf{n})} {(\mathbf{a},\mathbf{n})} \mathbf{a}, (\mathbf{a},\mathbf{n})\neq 0.$
Линейность проверил - все три преобразования линейны. Но вот какой геометрический смысл их - не могу догадатся. $|\mathbf{x}|^2$ квадрат нормы вектора, но как его использовать - не догадываюсь. Буду признателен за толчок в каком направлении думать.

[SpBTimes]

А что делает скалярное произведение, вы знаете?

[мат-ламер]

Попробуйте посчитать проекцию одного вектора на второй.

[Fafner]

SpBTimes в сообщении #676650 писал(а):

А что делает скалярное произведение, вы знаете?

это умножения одного вектора на проекцию второго вектора на первый?

[SpBTimes]

Fafner в сообщении #676666 писал(а):

это умножения одного вектора на проекцию второго вектора на первый?

вообще-то скалярное произведение - это число

[mihiv]

По поводу линейности.Чему равно $\varphi (2\mathbf{x})$ в первом случае?

[мат-ламер]

(Оффтоп)

А там в формулах первого поста случайно нет ошибки?

[Fafner]

мат-ламер в сообщении #676656 писал(а):

Попробуйте посчитать проекцию одного вектора на второй.

$1) \varphi (\mathbf x)=\frac {|\mathbf x| \cdot |\mathbf a| \cdot \cos \alpha \cdot \mathbf a} {|\mathbf x|^2}, \alpha - \text {угол между} \ \mathbf x \ \text и \ \mathbf a.$
$\varphi (\mathbf x)=\frac {|\mathbf a| \cdot \cos \alpha \cdot \mathbf a} {|\mathbf x|}.$
Вектор умножается на модуль самого себя, делится на норму второго вектора - но что это дает?

-- 27.01.2013, 10:40 --

мат-ламер в сообщении #676672 писал(а):

(Оффтоп)

А там в формулах первого поста случайно нет ошибки?

Вы правы, действительно ошибочно написал, прошу прощения. Правильное условие: (в 3 без изменений)
$1) \varphi (\mathbf{x})=(\mathbf{x},\mathbf{a}) \frac {\mathbf{a}} {|\mathbf{a}|^2};$
$2) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-(\mathbf{x},\mathbf{n}) \frac {\mathbf{n}} {|\mathbf{n}|^2};$
$3) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-\frac {(\mathbf{x},\mathbf{n})} {(\mathbf{a},\mathbf{n})} \mathbf{a}, (\mathbf{a},\mathbf{n})\neq 0.$

Тогда получается,
$1) \varphi (\mathbf x)=|\mathbf x| \cdot \mathbf e_a \cdot \cos \alpha=(\mathbf x \cdot \mathbf e_a)$
А это - проекция вектора $\mathbf x \ \text {на}\ \mathbf e_a.$
-- 27.01.2013, 10:48 --

mihiv в сообщении #676670 писал(а):

По поводу линейности.Чему равно $\varphi (2\mathbf{x})$ в первом случае?

$\varphi (2\mathbf x)=(2\mathbf x \cdot \mathbf a) \frac {\mathbf a} {|\mathbf a|^2}=2\varphi (\mathbf x)$
Получается так, если подставлять $2\mathbf x$ в уже исправленой мной преобразование по условию.

-- 27.01.2013, 10:54 --

SpBTimes в сообщении #676668 писал(а):

вообще-то скалярное произведение - это число

Да, и в связи с этим, появляется вопрос, с 2 преобразованием.
$2) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-(\mathbf{x},\mathbf{n}) \frac {\mathbf{n}} {|\mathbf{n}|^2};$

От вектора нужно отнять число (проекция вектора $\mathbf x \ \text {на}\ \mathbf e_a.$ ). Но как от вектора можна отнимать число? (с условием все верно счас)

-- 27.01.2013, 11:12 --

По поводу третьего преобразования.
$3) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-\frac {(\mathbf{x},\mathbf{n})} {(\mathbf{a},\mathbf{n})} \mathbf{a}, (\mathbf{a},\mathbf{n})\neq 0.$
$\varphi (\mathbf x)=\mathbf x - \frac {|\mathbf x| \cdot |\mathbf n| \cdot \cos \beta \cdot \mathbf a} {|\mathbf a| \cdot |\mathbf n| \cdot \cos \alpha}=\mathbf x -|\mathbf x| \cdot \lambda \mathbf e_a, \lambda=\frac {\cos \beta} {\cos \alpha}.$
$\varphi (\mathbf x)$ тогда получается вектор, который идет от вектора $|\mathbf x| \cdot \lambda \mathbf e_a$ к вектору $\mathbf x.$ Верно?

[мат-ламер]

Fafner в сообщении #676676 писал(а):

От вектора нужно отнять число (проекция вектора ... ). Но как от вектора можна отнимать число?

Там от вектора вектор вычитается.

[Fafner]

мат-ламер в сообщении #676900 писал(а):

Fafner в сообщении #676676 писал(а):

От вектора нужно отнять число (проекция вектора ... ). Но как от вектора можна отнимать число?

Там от вектора вектор вычитается.

да, действительно.

Спасибо большое Вам всем, разобрался! :)