2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 01:26 


25/12/11
146
Добрый день. Дана следуйщая задача.
Пусть $\mathbf{x}$ - произвольный вектор, $\mathbf{a}, \mathbf{n}$ - фиксированые ненулевые вектора геометрического пространства (двумерного или тримерного). Проверить линейность преобразования $\varphi$ заданого следуйщими формулами и понять его геометрический смысл, если:
$1) \varphi (\mathbf{x})=(\mathbf{x},\mathbf{a}) \frac {\mathbf{a}}  {|\mathbf{x}|^2};$
$2) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-(\mathbf{x},\mathbf{n}) \frac {\mathbf{n}}  {|\mathbf{x}|^2};$
$3) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-\frac {(\mathbf{x},\mathbf{n})} {(\mathbf{a},\mathbf{n})} \mathbf{a}, (\mathbf{a},\mathbf{n})\neq 0.$
Линейность проверил - все три преобразования линейны. Но вот какой геометрический смысл их - не могу догадатся. $|\mathbf{x}|^2$ квадрат нормы вектора, но как его использовать - не догадываюсь. Буду признателен за толчок в каком направлении думать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 10:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
А что делает скалярное произведение, вы знаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Попробуйте посчитать проекцию одного вектора на второй.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 11:18 


25/12/11
146
SpBTimes в сообщении #676650 писал(а):
А что делает скалярное произведение, вы знаете?

это умножения одного вектора на проекцию второго вектора на первый?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 11:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/12/10
1600
spb
Fafner в сообщении #676666 писал(а):
это умножения одного вектора на проекцию второго вектора на первый?

вообще-то скалярное произведение - это число

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 11:21 
Заслуженный участник


03/01/09
1677
москва
По поводу линейности.Чему равно $\varphi (2\mathbf{x})$ в первом случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 11:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590

(Оффтоп)

А там в формулах первого поста случайно нет ошибки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 11:31 


25/12/11
146
мат-ламер в сообщении #676656 писал(а):
Попробуйте посчитать проекцию одного вектора на второй.

$1) \varphi (\mathbf x)=\frac {|\mathbf x| \cdot |\mathbf a| \cdot  \cos \alpha \cdot \mathbf a} {|\mathbf x|^2}, \alpha - \text {угол между} \ \mathbf x  \ \text и \  \mathbf a.$
$\varphi (\mathbf x)=\frac {|\mathbf a| \cdot  \cos \alpha \cdot \mathbf a} {|\mathbf x|}.$
Вектор умножается на модуль самого себя, делится на норму второго вектора - но что это дает?

-- 27.01.2013, 10:40 --

мат-ламер в сообщении #676672 писал(а):

(Оффтоп)

А там в формулах первого поста случайно нет ошибки?

Вы правы, действительно ошибочно написал, прошу прощения. Правильное условие: (в 3 без изменений)
$1) \varphi (\mathbf{x})=(\mathbf{x},\mathbf{a}) \frac {\mathbf{a}}  {|\mathbf{a}|^2};$
$2) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-(\mathbf{x},\mathbf{n}) \frac {\mathbf{n}}  {|\mathbf{n}|^2};$
$3) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-\frac {(\mathbf{x},\mathbf{n})} {(\mathbf{a},\mathbf{n})} \mathbf{a}, (\mathbf{a},\mathbf{n})\neq 0.$

Тогда получается,
$1) \varphi (\mathbf x)=|\mathbf x| \cdot \mathbf e_a \cdot \cos \alpha=(\mathbf x \cdot \mathbf e_a)$
А это - проекция вектора $\mathbf x \ \text {на}\ \mathbf e_a.$
-- 27.01.2013, 10:48 --

mihiv в сообщении #676670 писал(а):
По поводу линейности.Чему равно $\varphi (2\mathbf{x})$ в первом случае?

$\varphi (2\mathbf x)=(2\mathbf x \cdot \mathbf a) \frac {\mathbf a} {|\mathbf a|^2}=2\varphi  (\mathbf x)$
Получается так, если подставлять $2\mathbf x$ в уже исправленой мной преобразование по условию.

-- 27.01.2013, 10:54 --

SpBTimes в сообщении #676668 писал(а):
вообще-то скалярное произведение - это число

Да, и в связи с этим, появляется вопрос, с 2 преобразованием.
$2) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-(\mathbf{x},\mathbf{n}) \frac {\mathbf{n}}  {|\mathbf{n}|^2};$

От вектора нужно отнять число (проекция вектора $\mathbf x \ \text {на}\ \mathbf e_a.$ ). Но как от вектора можна отнимать число? (с условием все верно счас)

-- 27.01.2013, 11:12 --

По поводу третьего преобразования.
$3) \varphi (\mathbf{x})=\mathbf{x}-\frac {(\mathbf{x},\mathbf{n})} {(\mathbf{a},\mathbf{n})} \mathbf{a}, (\mathbf{a},\mathbf{n})\neq 0.$
$\varphi (\mathbf x)=\mathbf x - \frac {|\mathbf x| \cdot |\mathbf n| \cdot \cos \beta \cdot \mathbf a} {|\mathbf a| \cdot |\mathbf n| \cdot \cos \alpha}=\mathbf x -|\mathbf x| \cdot \lambda \mathbf e_a, \lambda=\frac {\cos \beta} {\cos \alpha}.$
$\varphi (\mathbf x)$ тогда получается вектор, который идет от вектора $|\mathbf x| \cdot \lambda \mathbf e_a$ к вектору $\mathbf x.$ Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение27.01.2013, 17:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
6590
Fafner в сообщении #676676 писал(а):
От вектора нужно отнять число (проекция вектора ... ). Но как от вектора можна отнимать число?

Там от вектора вектор вычитается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти геометрический смысл линейного преобразования
Сообщение28.01.2013, 00:21 


25/12/11
146
мат-ламер в сообщении #676900 писал(а):
Fafner в сообщении #676676 писал(а):
От вектора нужно отнять число (проекция вектора ... ). Но как от вектора можна отнимать число?

Там от вектора вектор вычитается.

да, действительно.

Спасибо большое Вам всем, разобрался! :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group