Замкнутость линейной оболочки

[bot]

PAV уже ответил.

[the_mescalito]

bot
Норма вектора вот такая рассматривалась:
||u|| = \sqrt{(u,u)}

Вроде как здесь сходимость эквивалентна покоординатной... )

Добавлено спустя 38 минут 8 секунд:

Вот так?

Проверьте пожалуйста логичность выкладок...

Отбрасываем все ненужные вектора a_i, оставляем базис.
Задача-максимум - ограничить последовательности \lambda_i^k.

Предполагаем, что некоторая последовательность \lambda_p^k неограничена.

Тогда, по определению можем написать, что для некоторого \epsilon > 0 и для любого K найдется \widetilde{k} > K: \lambda_p^{\widetilde{k}} > \frac {||x|| + \epsilon} {||a||}.

Получаем:
\epsilon < \lambda_p^{\widetilde{k}} ||a_p|| - ||x|| <= \sum \lambda_i^{\widetilde{k}} ||a_i|| - ||x|| <= ||\sum \lambda_i^{\widetilde{k}} a_i - x||

А это противоречие сходимости набранной последовательности.

НО. Меня очень смущают последние два неравенства. Теряюсь, каким образом мне их обосновать...

[bot]

М-дась, в случае линейной зависимости что-то тоже засомневался. Между "выражается с неотрицательными коэффициентами" и "может выражаться" большая разница.

[the_mescalito]

Сам уже вижу, что неправильно...

Не обязательно \sum ||a_i|| <= ||\sum a_i||.

Как же тут извернуться? :-\

Добавлено спустя 3 минуты 17 секунд:

bot
Да мне кажется, линейная зависимость тут - не самый страшный зверь. Оставить базис системы всегда можно, а остальные вектора при необходимости повыражать через него!

Тут в чем-то другом загвоздка.

[Brukvalub]

Линейная оболочка системы векторов есть пересечение замкнутых множеств - всех подпространств, содержащих эту систему векторов. А пересечение любого семейства замкнутых множеств - замкнутое множество.

[PAV]

Идея заключается в том, чтобы оценить норму линейной комбинации через нормы коэффициентов. По-моему, это можно сделать через ортогональные дополнения.

[the_mescalito]

Черт... Какое ограничение на \lambda_p^{\widetilde{k}} взять, чтобы всё выполнилось без проблем?!

Можно было бы сразу такое:

\lambda_p^{\widetilde{k}} > \frac {||x|| + \epsilon} {||\sum \frac {\lambda_i^{\widetilde{k}}} {\lambda_p^{\widetilde{k}}}a_i||}, если бы гарантировалось, что всегда найдутся подходящие \lambda_i^{\widetilde{k}}.

Добавлено спустя 4 минуты 37 секунд:

Brukvalub писал(а):

Линейная оболочка системы векторов есть пересечение замкнутых множеств - всех подпространств, содержащих эту систему векторов. А пересечение любого семейства замкнутых множеств - замкнутое множество.

А где можно найти доказательства этих двух фактов?

[PAV]

Для каждого вектора $a_i$ (считаем, что они образуют базис) смотрим его проекцию на ортогональное дополнение к остальным векторам базиса. Обозначим ее $a_i'$. Тогда, если я не ошибаюсь, то длина линейной комбинации, в которую этот вектор входит с коэффициентом $\lambda_i$, не может быть меньше, чем $\lambda_i\cdot|a_i'|$.

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:

Brukvalub,

а как в этом рассуждении учесть неотрицательность коэффициентов?


Я засомневался даже, как ее учесть в моем доказательстве....

[Brukvalub]

Я писал про просто линейную оболочку, а приведенные мной факты тривиальны: то, что линейная оболочка системы векторов является пересечением всех подпространств, эту систему содержащих - очевидно, а то, что любое подпространство конечномерного пространства - замкнуто, следует. например, из того, что сходимость последовательности векторов в конечномерном пр-ве равносильна покоординатной сходимости в любом фиксированном базисе.

[the_mescalito]

PAV
Этот факт явно надо доказывать...
Это теорема какая-то? Просто я не припомню, чтоб он у нас был в курсе алгебры.

[bot]

Именно в ней и загвоздка. Если линейной зависимости нет, то из сходимости вытекает покоординатная сходимость и всё.

P.S. Это был ответ на это:

Цитата:

bot
Да мне кажется, линейная зависимость тут - не самый страшный зверь. Оставить базис системы всегда можно, а остальные вектора при необходимости повыражать через него!

Тут в чем-то другом загвоздка.

[the_mescalito]

Brukvalub
Буду курить матчасть, спасибо...

Пока не очень сложился в голове строгий текст доказательства (вплоть до сведения к определениям).

Добавлено спустя 3 минуты 25 секунд:

bot
Выходит, отбросив лишнее и оставив только базис системы, всё моментально получаем из покоординатной сходимости?

[bot]

Да, только для этого требуется доказать геометрически почти очевидное утверждение, Скорее всего это доказывается где-нибудь в разделе, который во время моей учёбы назывался линейным программированием.

Всякий элемент оболочки (назовём её конусом) является линейной комбинацией с неотрицательными коэффициентами (для краткости положительно выражается) через одну из баз. Под базой понимаем любую максимальную линейно независимую подсистему системы $a_1, a_2, ...$.
После этого всё просто. Так число баз конечно, то из сходящейся (в себе) последовательности элементов конуса можно выбрать подпоследовательность, все элементы которой положительно выражаются через одну и ту же базу, следовательно и её предел, совпадающий с пределом всей последовательности, положительно выражается через эту же базу. End.

[the_mescalito]

bot
Спасибо!

Это доказательство кажется мне наиболее простым и ясным...

Единственное что - поподробней надо проработать эквивалентность поточечной сходимости и сходимости покоординатной, где координаты - это коэффициенты при векторах некоторой "базы".

[PAV]

Самое важное тут - доказать, что действительно любой требуемый вектор выражается через одну из баз с неотрицательными коэффициентами. После этого можно использовать метод, предложенный Brukvalub, поскольку требуемое множество представляется в виде конечного объединения замкнутых, каждое со своей базой.