Someone писал(а):
Какое отношение тогда все эти "модели" имеют к числам?
Получается, что в моих “изобретениях“ я должен убрать все противоречия существующей теории или не допускать их? Допускать, что она (теория) неверна, нельзя?
§19.Вторая двумерная модель чисел.
Полагая в формуле (17)

, получим

- модели чисел, которые можно изображать на координатной плоскости c действительной осью

и мнимой осью

вектором, исходящим из начала координат и с концом в точке

. Все определения можно ввести по аналогии с определением первой двумерной модели:
1)

тогда и только тогда, когда

и

;
2)

;
3)

;
4)

;
Из 1) и 3) следует, что

.
Таким образом, введенные операции сложения и умножения, обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Из свойства 1) также следует, что множество, состоящее из вторых двумерных моделей чисел, также как и множество, состоящее из первых двумерных моделей чисел, содержит в себе, как частный случай, множества одномерных моделей чисел, рассмотренных в §17.
Вектор

называется сопряженным к вектору

; Значение
называется модулем (длиной) вектора

. В плоскости

можно положить
и записать эту модель в тригонометрической форме:

где

– угол, который составляет вектор

с положительным направлением оси

. Этот угол будем называть еще аргументом вектора

и обозначать символом

.
Для многозначного значения

,
которое дает все значения

, для которых, при

, удовлетворяются два равенства (23).
Но провести полную аналогию с первой двумерной моделью мы не сможем в виду отличия введенных единичных векторов. Так, например, нетрудно убедиться в соотношениях:

, если

– четная функция;

, если

– нечетная функция.
Для выражения, стоящего в скобках соотношения (24), не имеет место аналог формулы Муавра, поскольку для двух векторов

и

_
2)

.
т. е. операция умножения двух моделей в новой плоскости, нарушает
тригонометрическую форму модели числа. Но аналогию можно продолжить, если эту модель представить в гиперболической форме. По определению

.
Аналог формулы Муавра в этой плоскости примет вид
Эта формула позволяет определить для этой модели операцию извлечения корня произвольной степени. Открытым, в этом случае, остается вопрос представления произвольной модели в гиперболической форме.
Важнейшие соотношения, имеющиеся для первой двумерной модели, могут быть получены и для новой двумерной модели почти теми же методами. Но здесь будут возникать свои особенности, связанные с свойствами введенного единичного вектора. Так, например, из определения произведения двух векторов

и

этой плоскости, следует, что при

и

, произведение

может равняться нулю, если эти векторы сопряженные. При условии

, уравнение

будет иметь два решения:

и

.
Такие модели можно не использовать. Это взаимно ортогональные модели, лежащие на биссектрисах координатных углов , для которых операция обычного произведения, совпадает с скалярным.
Эта модель чисел также является расширением для одномерных моделей, поскольку содержит в себе, как частный случай, одномерные модели. Операции извлечения корня произвольной степени требуют привлечения других моделей. Для второй двумерной модели выполнимы все операции векторной алгебры.