Аппроксимация экспериментальных данных

[vitalmago]

Ребята,всем привет,нужен ваш совет.
Имеются данные x - 0,3,6,...99. y - 435,355,313,288,257,239,232,225,216,206,200,192,189,184,181,176,173,170,168,164,161,159,155,150,150,150,146,146,143,145,144,140,139,139,136.
Формула для которой мы пытаемся найти коэффициенты имеет весьма интересный вид $y = y_{min} +\frac {((y_{max} - y_{min})*y_{max}}{ax^2 + (bx^2 + cx + d) x + y_{min}}}$
Прошу не плеваться в монитор при виде формулы,она подходит нам. Но вот вопрос,есть ли другие более простые аппроксимирующие функции? И как справиться с такой функцией, методом сопряженных градиентов, алгоритмом Левенберга-Марквардта ???

[Александрович]

Я бы все-таки поборолся за более красивое приближение. Это что за зависимость?

[vitalmago]

Зависимость мы вывели сами,грубо говоря вручную. А так, в принципе, данные должны изменяться как-то экспоненциально.

[Евгений Машеров]

А что у нас оцениваемые параметры?$y_{max} y_{min}$ это известные или оцениваемые?

[ИСН]

"Я знаю, что это экспонента, но приближать буду полиномом"? Почему?

[Chifu]

x 34 значения, y 35 значений.

[Евгений Машеров]

Если $y_{\max} y_{\min}$ это известные величины (скажем, из каких-то теоретических соображений), то можно вычесть минимум, разделить на максимум и размах, взять обратную величину, вычесть минимум - и остаться с оцениванием полинома третьей степени (не забыв о том, что коэффициенты a и c при одинаковой степени, так что можно и нужно оценивать их сумму).
С другой стороны, если Вы знаете, что настоящая зависимость иная (экспоненциальная и т.п.), и речь лишь о хорошей интерполяции - почему бы не ограничиться моделью попроще, скажем, просто полиномом или степенной?

(Оффтоп)

В общем, "а из зала всё кричат - Давай подробности!"

[vitalmago]

Евгений Машеров в сообщении #675278 писал(а):

А что у нас оцениваемые параметры?$y_{max} y_{min}$ это известные или оцениваемые?

Да,это известные величины, причем они в примере есть, то есть $y_{max} y_{min}$ это 435 и 136.

-- 23.01.2013, 13:16 --

ИСН в сообщении #675281 писал(а):

"Я знаю, что это экспонента, но приближать буду полиномом"? Почему?

Я исполнитель :(

[Someone]

vitalmago в сообщении #675263 писал(а):

$y = y_{min} +\frac {((y_{max} - y_{min})*y_{max}}{ax^2 + (bx^2 + cx + d) x + y_{min}}}$

Выражение в знаменателе $ax^2 + (bx^2 + cx + d) x + y_{min}=bx^3+(a+c)x^2+dx+y_{min}$ имеет лишний коэффициент, нужно оставить только $a$ или только $c$. Или там опечатка? (Опечатки там точно есть, например, лишняя левая скобка в числителе).

vitalmago в сообщении #675263 писал(а):

И как справиться с такой функцией

Переписываете выражение в виде

$$bx^3+ax^2+dx=\frac{(y_{max}-y_{min})y_{max}}{y-y_{min}}-y_{min}$$

и стандартным образом применяете метод наименьших квадратов. Правда, глядя на это выражение, так и хочется плюнуть в монитор. Только монитор жалко.

[vitalmago]

Евгений Машеров в сообщении #675289 писал(а):

Если $y_{\max} y_{\min}$ это известные величины (скажем, из каких-то теоретических соображений), то можно вычесть минимум, разделить на максимум и размах, взять обратную величину, вычесть минимум - и остаться с оцениванием полинома третьей степени (не забыв о том, что коэффициенты a и c при одинаковой степени, так что можно и нужно оценивать их сумму).
С другой стороны, если Вы знаете, что настоящая зависимость иная (экспоненциальная и т.п.), и речь лишь о хорошей интерполяции - почему бы не ограничиться моделью попроще, скажем, просто полиномом или степенной?
В общем, "а из зала всё кричат - Давай подробности!"

Проблема с полиномом заключается в том, что процесс который мы пытаемся описать изменяется вероятнее всего экспоненциально. Полином не подходит для дальнейших исследований. Но как ни странно у нас все тот же полином, только в профиль :(

-- 23.01.2013, 13:23 --

Someone в сообщении #675292 писал(а):

vitalmago в сообщении #675263 писал(а):

$y = y_{min} +\frac {((y_{max} - y_{min})*y_{max}}{ax^2 + (bx^2 + cx + d) x + y_{min}}}$

Выражение в знаменателе $ax^2 + (bx^2 + cx + d) x + y_{min}=bx^3+(a+c)x^2+dx+y_{min}$ имеет лишний коэффициент? нужно оставить только $a$ или только $c$. Или там опечатка? (Опечатки там точно есть, например, лишняя левая скобка в числителе).

vitalmago в сообщении #675263 писал(а):

И как справиться с такой функцией

Переписываете выражение в виде

$$bx^3+ax^2+dx=\frac{(y_{max}-y_{min})y_{max}}{y-y_{min}}-y_{min}$$

и стандартным образом применяете метод наименьших квадратов. Правда, глядя на это выражение, так и хочется плюнуть в монитор.

Я предупреждал! :)
Да дело в том, что там нет опечатки =\ Просто без преобразования...
Большое спасибо за идею,сейчас попробую...

-- 23.01.2013, 13:29 --

Евгений Машеров в сообщении #675289 писал(а):

Если $y_{\max} y_{\min}$ это известные величины (скажем, из каких-то теоретических соображений), то можно вычесть минимум, разделить на максимум и размах, взять обратную величину, вычесть минимум - и остаться с оцениванием полинома третьей степени (не забыв о том, что коэффициенты a и c при одинаковой степени, так что можно и нужно оценивать их сумму).
С другой стороны, если Вы знаете, что настоящая зависимость иная (экспоненциальная и т.п.), и речь лишь о хорошей интерполяции - почему бы не ограничиться моделью попроще, скажем, просто полиномом или степенной?

(Оффтоп)

В общем, "а из зала всё кричат - Давай подробности!"

Степень не подходит из-за нулевого значения в первой точке,от этого можно избавиться?

[Александрович]

vitalmago в сообщении #675291 писал(а):

Да,это известные величины, причем они в примере есть, то есть $y_{max} y_{min}$ это 435 и 136.

Это не известные, а измеренные с ошибками величины в этом смысле неотличающиеся от других значений.

[Deggial]

vitalmago в сообщении #675263 писал(а):

Ребята,всем привет,нужен ваш совет.

vitalmago, устное замечание за неформальное обращение "ребята". На форуме следует обращаться друг к другу на "Вы"

[Евгений Машеров]

Ну, так и обратный полином, который у Вас получился, тоже не экспонента... Можно расшифровать, что именно у Вас понимается под "экспоненциальным поведением"?

Ну. и касательно максимума и минимума - это максимум и минимум выборки, или теоретические пределы?

[vitalmago]

Евгений Машеров в сообщении #675321 писал(а):

Ну, так и обратный полином, который у Вас получился, тоже не экспонента... Можно расшифровать, что именно у Вас понимается под "экспоненциальным поведением"?

Ну. и касательно максимума и минимума - это максимум и минимум выборки, или теоретические пределы?

Извините за безграмотность Экспоненциальное поведение - изменение экспериментальных данных по зависимости $y=e^{-1/x}$,вот как-то так.
Максимум и минимум выборки.
Очень приятно что вы заходите в тему и отвечаете. Большое спасибо!

-- 23.01.2013, 14:51 --

Chifu в сообщении #675287 писал(а):

x 34 значения, y 35 значений.

Убрать последнее $y$. Не могу исправить

[Chifu]

vitalmago в сообщении #675328 писал(а):

Убрать последнее $y$. Не могу исправить

Тогда диапазон (хотя какой у экспоненты диапазон..., у неё производная должна быть) 435-139.