рекуррентные формулы (линейные, двумерные)

[Sherpa]

$ \left\{ \begin{array}{l} x_{n+1} = -x_n + 4y_n,\\ y_{n+1} = -4x_n + 7y_n, \end{array} x_0 = 1, y_0 =1, \\ y_{151} = ?\right. $

Насколько я понимаю тут нужно как-то через базисы действовать, но вот как для меня не очень очевидно. Не могли бы сказать в каком направлении действовать?

[ИСН]

Ну что же. Вектор $(x_{n+1},y_{n+1})$ получается из вектора $(x_n,y_n)$ умножением на матрицу (какую?), у которой есть некие собственные числа и собственные векторы, которые...

[Sherpa]

ооооо, пока я пытался правильно написать условие мне уже ответили)))
спасибо.
нужно умножать на матрицу {-1, 4, -4, 7}??
и чтобы получить 151-й элемент я, видимо, должен возмести эту свою матрицу в 151 степень... так?

[ИСН]

Да, а чтобы удобнее было возводить в степени, её надо сначала привести к какому виду?

[Sherpa]

ммммм
вот над этим я и думал...=\
наверняка что-то похожее на PDQ-разложение???
но я не пойму как его сделать...

[V.V.]

Sherpa писал(а):

Насколько я понимаю тут нужно как-то через базисы действовать, но вот как для меня не очень очевидно. Не могли бы сказать в каком направлении действовать?

Почему обязательно через базисы? Есть замечательная вещь под названием производящая функция...

[ИСН]

Sherpa писал(а):

наверняка что-то похожее на PDQ-разложение?

ой
я и словей-то таких не знаю
я жорданову нормальную форму имел в виду, если чо.

[Sherpa]

Во-первых, я не знаю, что такое производящая функция.
Во-вторых, это с контрольной по линейной алгебре.
Именно поэтому я должен в полной мере осознать силу базисов =)

Ааааа, ну а про разложение... Вроде же есть теорема, что каждую матрицу мы можем на три разложить, или я что-то путаю.
Сейчас буду осознавать

[V.V.]

Sherpa писал(а):

Во-первых, я не знаю, что такое производящая функция.

Грэхем, Кнут, Паташник. "Конкретная математика".

[Sherpa]

Спасибо. Постараюсь осилить на досуге.

Добавлено спустя 1 час 24 минуты 47 секунд:

у меня ступор...
в нормальной форме матрица будет такой??

$ \left( \begin{array}{l} 3 , 1\\ 0 , 3 \end{array} \right). $

[RIP]

Sherpa писал(а):

в нормальной форме матрица будет такой??

$ \left( \begin{array}{l} 3 , 1\\ 0 , 3 \end{array} \right). $

Да. Только надо ещё найти матрицу перехода.

[Brukvalub]

Такой. Теперь найдите преобразование, переводящее исходную матрицу
к ЖНФ, примените его , возведите ЖНФ в 151-ю степень, после чего примените обратное преобразование - получится 151-я степень итерационной матрицы умножьте ее вторую строку на начальный вектор - будет ответ.

[Sherpa]

Спасибо, о великие)))
Да, дальше я осознал...