2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 рекуррентные формулы (линейные, двумерные)
Сообщение28.05.2007, 18:37 
$ 
\left\{ \begin{array}{l} 
x_{n+1} = -x_n + 4y_n,\\ 
y_{n+1} = -4x_n + 7y_n, 
\end{array} 
x_0 = 1, y_0  =1, \\
y_{151} = ?\right. 
$

Насколько я понимаю тут нужно как-то через базисы действовать, но вот как для меня не очень очевидно. Не могли бы сказать в каком направлении действовать?

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 18:40 
Аватара пользователя
Ну что же. Вектор $(x_{n+1},y_{n+1})$ получается из вектора $(x_n,y_n)$ умножением на матрицу (какую?), у которой есть некие собственные числа и собственные векторы, которые...

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 18:45 
ооооо, пока я пытался правильно написать условие мне уже ответили)))
спасибо.
нужно умножать на матрицу {-1, 4, -4, 7}??
и чтобы получить 151-й элемент я, видимо, должен возмести эту свою матрицу в 151 степень... так?

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 18:55 
Аватара пользователя
Да, а чтобы удобнее было возводить в степени, её надо сначала привести к какому виду?

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 18:57 
ммммм
вот над этим я и думал...=\
наверняка что-то похожее на PDQ-разложение???
но я не пойму как его сделать...

 
 
 
 Re: рекуррентные формулы
Сообщение28.05.2007, 19:05 
Sherpa писал(а):
Насколько я понимаю тут нужно как-то через базисы действовать, но вот как для меня не очень очевидно. Не могли бы сказать в каком направлении действовать?


Почему обязательно через базисы? Есть замечательная вещь под названием производящая функция...

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 19:06 
Аватара пользователя
Sherpa писал(а):
наверняка что-то похожее на PDQ-разложение?

ой
я и словей-то таких не знаю
я жорданову нормальную форму имел в виду, если чо.

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 19:07 
Во-первых, я не знаю, что такое производящая функция.
Во-вторых, это с контрольной по линейной алгебре.
Именно поэтому я должен в полной мере осознать силу базисов =)

Ааааа, ну а про разложение... Вроде же есть теорема, что каждую матрицу мы можем на три разложить, или я что-то путаю.
Сейчас буду осознавать

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 19:12 
Sherpa писал(а):
Во-первых, я не знаю, что такое производящая функция.


Грэхем, Кнут, Паташник. "Конкретная математика".

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 20:38 
Спасибо. Постараюсь осилить на досуге.

Добавлено спустя 1 час 24 минуты 47 секунд:

у меня ступор...
в нормальной форме матрица будет такой??

$ 
\left( \begin{array}{l} 
3 , 1\\ 
0 , 3
\end{array}  \right). 
$

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 22:57 
Аватара пользователя
Sherpa писал(а):
в нормальной форме матрица будет такой??

$ 
\left( \begin{array}{l} 
3 , 1\\ 
0 , 3
\end{array}  \right). 
$

Да. Только надо ещё найти матрицу перехода.

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 22:58 
Аватара пользователя
Такой. Теперь найдите преобразование, переводящее исходную матрицу
к ЖНФ, примените его , возведите ЖНФ в 151-ю степень, после чего примените обратное преобразование - получится 151-я степень итерационной матрицы умножьте ее вторую строку на начальный вектор - будет ответ.

 
 
 
 
Сообщение29.05.2007, 00:04 
Спасибо, о великие)))
Да, дальше я осознал...

 
 
 [ Сообщений: 13 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group