Задача Дирихле

[Tuzembobel]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить данную задачу Дирихле:

$$ \begin{cases} \Delta u = 2, & \\ u|_{\partial\Omega}=\sin 2x, \Omega = \{x^2+y^2<1\} & \end{cases} $$

Сначала я сделал замену $u=w+\frac{x^2+y^2}{2}$. Тогда $\Delta u=\Delta w + 2=2$, тем самым функция $w$ - гармоническая и $w|_{\partial\Omega}=\sin 2x -\frac{1}{2}$.

Но переходить далее к полярным координатам $(r, \varphi)$ для разделения переменным очень громоздко, т.к. $u|_{\partial\Omega}=u|_{r=1}=\sin(2\cos \varphi)$. И формулы для вычисления коэффициентов Фурье не очень приятные.

Как можно обойти это?
PS: В моих обозначениях $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ - оператор Лапласа.

[sadomovalex]

разбейте исходную задачу на две: однородную с неоднородными граничными условиями и неоднородную с однородными граничными условиями. Задачу с неоднородными граничными условиями надо решать в полярных координатах - иначе условиям на границе будет очень сложно удовлетворить