2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача Дирихле
Сообщение27.05.2007, 22:21 
Здравствуйте, помогите, пожалуйста, решить данную задачу Дирихле:
$$
\begin{cases}
\Delta u = 2, & \\
u|_{\partial\Omega}=\sin 2x, \Omega = \{x^2+y^2<1\} & 
\end{cases}
$$
Сначала я сделал замену $u=w+\frac{x^2+y^2}{2}$. Тогда $\Delta u=\Delta w + 2=2$, тем самым функция $w$ - гармоническая и $w|_{\partial\Omega}=\sin 2x -\frac{1}{2}$.

Но переходить далее к полярным координатам $(r, \varphi)$ для разделения переменным очень громоздко, т.к. $u|_{\partial\Omega}=u|_{r=1}=\sin(2\cos \varphi)$. И формулы для вычисления коэффициентов Фурье не очень приятные.

Как можно обойти это?
PS: В моих обозначениях $\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}$ - оператор Лапласа.

 
 
 
 
Сообщение28.05.2007, 10:06 
разбейте исходную задачу на две: однородную с неоднородными граничными условиями и неоднородную с однородными граничными условиями. Задачу с неоднородными граничными условиями надо решать в полярных координатах - иначе условиям на границе будет очень сложно удовлетворить

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group