Для полноты картины приведу здесь выдержку из
статьи:
В заключение мы несколько отклонимся от основной темы статьи и покажем, что тор
![$\overbrace{S^1\times\cdots\times S^1}^{n}$ $\overbrace{S^1\times\cdots\times S^1}^{n}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e175a7a88cd13e1e62cab750b03b78c82.png)
, натянутый на сферу
![$S^{n}$ $S^{n}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/2/4/e24d211fe16d8296eae2266bb8d834a282.png)
, обладает симметриями, которые описываются специальной унитарной группой
![$SU(n)$ $SU(n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/2/8123712535eb25f203ede835a163e62882.png)
. Действительно, если под изоморфизмом тора, натянутого на сферу, понимать произвольную цепочку собственных движений тора и движений тора по сфере, то всякий такой изоморфизм может быть представлен некоторой конечной последовательностью движений
![$(O_{1}T_{1}O'_{1})(O_{2}T_{2}O'_{2})\ldots$ $(O_{1}T_{1}O'_{1})(O_{2}T_{2}O'_{2})\ldots$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/a/e/6ae20c930c906b743d2e8f5917e68d8382.png)
, где
![$O_{i},O'_{i}$ $O_{i},O'_{i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/c/88cfab7034574031ae55d14acb9a9f6a82.png)
-- произвольные элементы группы действительных унимодулярных ортогональных матриц
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-го порядка
![$SO(n,\mathbb{R})$ $SO(n,\mathbb{R})$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/6/a462126e9b578cb8fde68208b0639bee82.png)
, с помощью которых мы вращаем тор по сфере вокруг точек
![$o_{i},o'_{i}$ $o_{i},o'_{i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/0/5803399795841cec42d1e03ed178551b82.png)
соответственно, при этом точка
![$o'_{i}$ $o'_{i}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/4/f042ff9b821909c28d58437a0204f26082.png)
совпадает с точкой
![$o_{i+1}$ $o_{i+1}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/f/99f0127a958a76a8888d252faa19794582.png)
, а
![$T_{i}$ $T_{i}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/d/56dc6e6f7e5a8972ba6f6f85ebc5f8ad82.png)
-- произвольный элемент группы таких диагональных унимодулярных комплексных матриц
![$ST(n)$ $ST(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/4/1/941c94ee2eb837203c5cd450647fd29782.png)
, что модули всех
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
диагональных элементов равны единице, с помощью которого мы сдвигаем центр тора
![$o_{i}$ $o_{i}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/c/c/ccc85011980003cafde96c21872b42cb82.png)
в точку
![$o'_{i}$ $o'_{i}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/4/f042ff9b821909c28d58437a0204f26082.png)
. Вместе с тем, если для движений вида
![$OTO$ $OTO$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/9/589454f734785e2b6737a257231a018282.png)
мы определим групповую операцию
![$(O_{1}T_{1} O'_{1})\cdot (O_{2}T_{2}O'_{2})= O_{1}\cdot O_{2}T_{1}\cdot T_{2} O'_{1}\cdot O'_{2}$ $(O_{1}T_{1} O'_{1})\cdot (O_{2}T_{2}O'_{2})= O_{1}\cdot O_{2}T_{1}\cdot T_{2} O'_{1}\cdot O'_{2}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/5/9/259580e9789aa6c7e664866771cc36bd82.png)
, то цепочка движений длины
![$m$ $m$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/5/0e51a2dede42189d77627c4d742822c382.png)
сворачивается следующим образом:
![$ O_{1}\cdot O_{2}\cdot\ldots\cdot O_{m} T_{1}\cdot T_{2}\cdot\ldots\cdot T_{m} O'_{1}\cdot O'_{2}\cdot\ldots\cdot O'_{m}$ $ O_{1}\cdot O_{2}\cdot\ldots\cdot O_{m} T_{1}\cdot T_{2}\cdot\ldots\cdot T_{m} O'_{1}\cdot O'_{2}\cdot\ldots\cdot O'_{m}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/f/44f69ab87fdd92e9c5fa44a36dc57e0482.png)
. Заметим при этом, что в том случае, когда
![$O_{2}=O_{3}=\ldots=O_{m}=1$ $O_{2}=O_{3}=\ldots=O_{m}=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/c/2ecae896df83c8f78263c0e77b50b02c82.png)
, эта запись упрощается до выражения
![$O_{1}T_{1}O'_{1} T_{2} O'_{2}\ldots T_{m}O'_{m}= O_{1}T_{1}T_{2}\ldots T_{m} O'_{1} O'_{2}\ldots O'_{m}$ $O_{1}T_{1}O'_{1} T_{2} O'_{2}\ldots T_{m}O'_{m}= O_{1}T_{1}T_{2}\ldots T_{m} O'_{1} O'_{2}\ldots O'_{m}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/5/365603730260f365d0756eb71bb47fc382.png)
. Таким образом, задавая групповую операцию
![$(\cdot)$ $(\cdot)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/1/481d52d6708307a78db830e52defb15d82.png)
для изоморфизмов тора, натянутого на сферу, вида
![$OTO$ $OTO$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/9/589454f734785e2b6737a257231a018282.png)
, мы фактически получили свободное произведение групп
![$SO(n)\ast ST(n)\ast SO(n)$ $SO(n)\ast ST(n)\ast SO(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/c/14cc57abdd1620a5d050c03ce8203a1482.png)
. А поскольку
![$O_{i}T_{i}O'_{i}\in SU(n)$ $O_{i}T_{i}O'_{i}\in SU(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/3/ff344822b4b28ebb31234fd624224d7682.png)
и размерность свободного произведения совпадает с размерностью группы
![$SU(n)$ $SU(n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/2/8123712535eb25f203ede835a163e62882.png)
, то группа изоморфизмов тора, натянутого на сферу, совпадает с группой
![$SU(n)$ $SU(n)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/2/8123712535eb25f203ede835a163e62882.png)
, не имеющей подгрупп размерности
![$n^2-1$ $n^2-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/d/6bd78e6deafdfa4a0c2c1ddc0303128e82.png)
. В качестве иллюстрации тора, натянутого на сферу, приведем следущее отображение тора
![$S^1\times S^1$ $S^1\times S^1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/0/a70a1cc1595c58d7d023e4f756cb922d82.png)
на сферу
![$S^2$ $S^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/a/89addb8e953cb14c01e0f8378ee046b882.png)
:
![$
$\begin{cases}
x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\
x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\
x_3=\sin\varphi
\end{cases},$ $
$\begin{cases}
x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\
x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\
x_3=\sin\varphi
\end{cases},$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/c/4ec81a849a208b3acaee0dc7bc67c6e482.png)
где
![$0\leq\varphi,\vartheta<2\pi$ $0\leq\varphi,\vartheta<2\pi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/a/b9a416ded92a56f7c17ead9c1e55ab8782.png)
. А для наглядного представления движений тора, натянутого на сферу, вида
![$OTO$ $OTO$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/9/589454f734785e2b6737a257231a018282.png)
можно предложить рассматривать тор с двумя касательными плоскостями в точках
![$o,o'$ $o,o'$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/9/539e3e7b2f163ad9ddce95329090450582.png)
, вращение которых вокруг этих точек, эквивалентно вращениям тора по поверхности сферы.