Геометрия специальной унитарной группы

[bayak]

g______d в сообщении #672041 писал(а):

Что касается некорректности равенства, то свободное произведение двух групп Ли при любом разумном определении имеет бесконечную размерность и не может быть конечномерной группой Ли. Потому что размерность растет с увеличением длин рассматриваемых цепочек образующих.

Вы не поняли. Длина разложения равна трём и не растёт ( посмотрите определение свободного произведения на странице 204 "Теории групп" Куроша А.Г.), а длина цепочек, о которых я говорил, может быть произвольной, но обязана быть конечной.

Для иллюстрации этих цепочек можно рассмотреть такую простую геометрическую конструкцию как тор с касательными плоскостями в двух точках. Тогда, двигаясь по тору и вращая касательные плоскости в начале и в конце пути, мы получим одно звено цепочки, а продолжая эти движения, мы получим следующее звено, и так далее. Однако цепь любой длины редуцируется до элемента, состоящего из начального поворота касательной плоскости, результирующего пути по тору, и результирующего поворота касательной плоскости. Этот элемент и будет элементом свободного произведения групп.

[g______d]

bayak в сообщении #672559 писал(а):

g______d в сообщении #672041 писал(а):

Что касается некорректности равенства, то свободное произведение двух групп Ли при любом разумном определении имеет бесконечную размерность и не может быть конечномерной группой Ли. Потому что размерность растет с увеличением длин рассматриваемых цепочек образующих.

Вы не поняли. Длина разложения равна трём и не растёт ( посмотрите определение свободного произведения на странице 204 "Теории групп" Куроша А.Г.), а длина цепочек, о которых я говорил, может быть произвольной, но обязана быть конечной.

На странице 204 вводится понятие "группа является свободным произведением набора своих подгрупп". Т. е. надо, чтобы все три множителя были подгруппами некоторой заранее заданной группы. У вас это $SU(n)$? Тогда обратите внимание на слово "единственной" после формулы (1). Вообще, в свободном произведении элементы разных подгрупп (кроме единичного) не могут коммутировать друг с другом, т. к. иначе нарушается единственность представления. А у вас в группе $ST(n)$ есть матрицы, у которых все диагональные элементы совпадают, они коммутируют с чем угодно.

На странице 205 вводится понятие свободного произведения набора заданных групп. Ну так вот, по определению туда входят цепочки сколь угодно большой длины. И размерность пространства цепочек длины $n$ растет с ростом $n$ степенным образом.

-- 16.01.2013, 23:13 --

bayak в сообщении #672559 писал(а):

Однако цепь любой длины редуцируется до элемента, состоящего из начального поворота касательной плоскости, результирующего пути по тору, и результирующего поворота касательной плоскости. Этот элемент и будет элементом свободного произведения групп.

Вы плохо представляете себе, что такое свободное произведение групп. Прочитайте определение еще раз. Цепочки в свободном произведении, если там по очереди идут элементы из разных перемножаемых групп, не могут редуцироваться.

[bayak]

g______d в сообщении #672572 писал(а):

На странице 204 вводится понятие "группа является свободным произведением набора своих подгрупп". Т. е. надо, чтобы все три множителя были подгруппами некоторой заранее заданной группы. У вас это $SU(n)$? Тогда обратите внимание на слово "единственной" после формулы (1). Вообще, в свободном произведении элементы разных подгрупп (кроме единичного) не могут коммутировать друг с другом, т. к. иначе нарушается единственность представления. А у вас в группе $ST(n)$ есть матрицы, у которых все диагональные элементы совпадают, они коммутируют с чем угодно.

Справедливое замечание, но не по адресу. В группе $ST(n)$ нет матриц у которых все диагональные элементы совпадают. Из унимодулярности этой группы следует, что $|\varphi_{1}+\ldots +\varphi_{n}|=0$, где угловые координаты тора складываются по модулю $2\pi$.

g______d в сообщении #672572 писал(а):

На странице 205 вводится понятие свободного произведения набора заданных групп. Ну так вот, по определению туда входят цепочки сколь угодно большой длины. И размерность пространства цепочек длины $n$ растет с ростом $n$ степенным образом.

Этого я не понимаю. Каким образом на странице 205 водится понятие свободного произведения набора заданных групп? Иначе говоря, как там определяется групповая операция?

g______d в сообщении #672572 писал(а):

Вы плохо представляете себе, что такое свободное произведение групп. Прочитайте определение еще раз. Цепочки в свободном произведении, если там по очереди идут элементы из разных перемножаемых групп, не могут редуцироваться.

В моём примере (или контрпримере) умножение элементов свободного произведения задано покомпонентно, т.е. точно так же как и у прямого произведения.

[bayak]

Для полноты картины приведу здесь выдержку из статьи:

В заключение мы несколько отклонимся от основной темы статьи и покажем, что тор $\overbrace{S^1\times\cdots\times S^1}^{n}$, натянутый на сферу $S^{n}$, обладает симметриями, которые описываются специальной унитарной группой $SU(n)$. Действительно, если под изоморфизмом тора, натянутого на сферу, понимать произвольную цепочку собственных движений тора и движений тора по сфере, то всякий такой изоморфизм может быть представлен некоторой конечной последовательностью движений $(O_{1}T_{1}O'_{1})(O_{2}T_{2}O'_{2})\ldots$, где $O_{i},O'_{i}$ -- произвольные элементы группы действительных унимодулярных ортогональных матриц $n$-го порядка $SO(n,\mathbb{R})$, с помощью которых мы вращаем тор по сфере вокруг точек $o_{i},o'_{i}$ соответственно, при этом точка $o'_{i}$ совпадает с точкой $o_{i+1}$, а $T_{i}$ -- произвольный элемент группы таких диагональных унимодулярных комплексных матриц $ST(n)$, что модули всех $n$ диагональных элементов равны единице, с помощью которого мы сдвигаем центр тора $o_{i}$ в точку $o'_{i}$. Вместе с тем, если для движений вида $OTO$ мы определим групповую операцию $(O_{1}T_{1} O'_{1})\cdot (O_{2}T_{2}O'_{2})= O_{1}\cdot O_{2}T_{1}\cdot T_{2} O'_{1}\cdot O'_{2}$, то цепочка движений длины $m$ сворачивается следующим образом: $(O_{1}T_{1}O'_{1})\cdot(O_{2} T_{2} O'_{2}) \cdot \ldots \cdot (O_{m}T_{m}O'_{m})=$ $ O_{1}\cdot O_{2}\cdot\ldots\cdot O_{m} T_{1}\cdot T_{2}\cdot\ldots\cdot T_{m} O'_{1}\cdot O'_{2}\cdot\ldots\cdot O'_{m}$. Заметим при этом, что в том случае, когда $O_{2}=O_{3}=\ldots=O_{m}=1$, эта запись упрощается до выражения $O_{1}T_{1}O'_{1} T_{2} O'_{2}\ldots T_{m}O'_{m}= O_{1}T_{1}T_{2}\ldots T_{m} O'_{1} O'_{2}\ldots O'_{m}$. Таким образом, задавая групповую операцию $(\cdot)$ для изоморфизмов тора, натянутого на сферу, вида $OTO$, мы фактически получили свободное произведение групп $SO(n)\ast ST(n)\ast SO(n)$. А поскольку $O_{i}T_{i}O'_{i}\in SU(n)$ и размерность свободного произведения совпадает с размерностью группы $SU(n)$, то группа изоморфизмов тора, натянутого на сферу, совпадает с группой $SU(n)$, не имеющей подгрупп размерности $n^2-1$. В качестве иллюстрации тора, натянутого на сферу, приведем следущее отображение тора $S^1\times S^1$ на сферу $S^2$:
$ $\begin{cases} x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\ x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\ x_3=\sin\varphi \end{cases},$
где $0\leq\varphi,\vartheta<2\pi$. А для наглядного представления движений тора, натянутого на сферу, вида $OTO$ можно предложить рассматривать тор с двумя касательными плоскостями в точках $o,o'$, вращение которых вокруг этих точек, эквивалентно вращениям тора по поверхности сферы.

[g______d]

bayak в сообщении #673527 писал(а):

Справедливое замечание, но не по адресу. В группе $ST(n)$ нет матриц у которых все диагональные элементы совпадают. Из унимодулярности этой группы следует, что $|\varphi_{1}+\ldots +\varphi_{n}|=0$, где угловые координаты тора складываются по модулю $2\pi$.

Как это нет? Во-первых, у автоморфизма тора определитель не обязательно равен единице, надо только чтобы все диагональные элементы по модулю были равны единице. Никакого условия на кратность суммы углов $2\pi$ не должно быть. У тора сдвиги по разным образующим независимы.

Во-вторых, даже если и наложить такое условие, есть матрица, у которой все диагональные элементы равны $e^{2\pi i/n}$.

bayak в сообщении #673527 писал(а):

Этого я не понимаю. Каким образом на странице 205 водится понятие свободного произведения набора заданных групп? Иначе говоря, как там определяется групповая операция?

Прочитайте и скажите чего вы не понимаете конкретно

bayak в сообщении #673527 писал(а):

В моём примере (или контрпримере) умножение элементов свободного произведения задано покомпонентно, т.е. точно так же как и у прямого произведения.

Тогда какое же это свободное произведение?

[bayak]

g______d в сообщении #673655 писал(а):

bayak в сообщении #673527 писал(а):

Справедливое замечание, но не по адресу. В группе $ST(n)$ нет матриц у которых все диагональные элементы совпадают. Из унимодулярности этой группы следует, что $|\varphi_{1}+\ldots +\varphi_{n}|=0$, где угловые координаты тора складываются по модулю $2\pi$.

Как это нет? Во-первых, у автоморфизма тора определитель не обязательно равен единице, надо только чтобы все диагональные элементы по модулю были равны единице. Никакого условия на кратность суммы углов $2\pi$ не должно быть. У тора сдвиги по разным образующим независимы.

Во-вторых, даже если и наложить такое условие, есть матрица, у которой все диагональные элементы равны $e^{2\pi i/n}$.

Ну автоморфизмы тора можно и сузить, а вот коммутирующий элемент всё портит. Похоже, что я не правомерно тиснул эту конструкцию в свободное произведение групп. А существет ли подходящая теоретико-групповая конструкция я теперь уже и не знаю. Ведь мне надо, чтобы элементы вида $OTO'$ при коммутирующем $T$ (в том числе и единичном) укорачивались бы до элементов вида $OT$. Короче, буду думать, спасибо за науку.

[bayak]

Похоже, что подходящая конструкция прорисовывается. Это просто свободная группа, в которой буквы берутся из групп $SO(n)$ и $ST(n)$, а слова, благодаря групповой операции сокращения букв, имеют длину не более трёх букв.

[bayak]

bayak в сообщении #674046 писал(а):

Похоже, что подходящая конструкция прорисовывается. Это просто свободная группа, в которой буквы берутся из групп $SO(n)$ и $ST(n)$, а слова, благодаря групповой операции сокращения букв, имеют длину не более трёх букв.

Вот подправил:
В заключение мы несколько отклонимся от основной темы статьи и покажем, что тор $\overbrace{S^1\times\cdots\times S^1}^{n}$, натянутый на сферу $S^{n}$, обладает симметриями, которые описываются специальной унитарной группой $SU(n)$. Действительно, если под изоморфизмом тора, натянутого на сферу, понимать произвольную цепочку собственных движений тора и движений тора по сфере, то всякий такой изоморфизм может быть представлен некоторой конечной последовательностью движений $O$, с помощью которых мы вращаем тор по сфере вокруг нулевой точки, и движений $T$, с помощью которых мы сдвигаем нулевую точку. Пусть $O$ это произвольный элемент группы действительных унимодулярных ортогональных матриц $n$-го порядка $SO(n,\mathbb{R})$, а $T$ -- произвольный элемент группы таких диагональных унимодулярных комплексных матриц $ST(n)$, что модули всех $n$ диагональных элементов равны единице. Из цепочек мы образуем группу, установив следующие правила умножения (сокращения): все цепочки начинаются с буквы $O$, если рядом с буквой $O$ (или $T$) стоят $O$ (или $T$) со штрихами, то все штрихованные и нештрихованные $O$ (соответственно $T$) умножаются с сохранением порядка по правилам умножения группы $SO(n,\mathbb{R})$ (соответственно $ST(n)$); далее, если $T$ не коммутирует в комплексной матричной алгебре (т.е. это ни единичный элемент алгебры, ни элемент с равными диагональными элементами), то

$$O\cdot T=OT,$$

$$O\cdot T\cdot O'=OTO',$$

$$O\cdot T\cdot O'\cdot T'=OT\cdot T'O',$$

$$O\cdot T\cdot O'\cdot T'\cdot O''=OT\cdot T'O'\cdot O'',$$

а если $T$ коммутирует, то

$$O\cdot T\cdot O'=O\cdot O'T.$$

Тем самым, наша полусвободная группа состоит из слов длины не более трех букв. А поскольку $O,OT,OTO'\in SU(n)$ и размерность этой группы совпадает с размерностью группы $SU(n)$, которая, как известно, не имеет подгрупп размерности $n^2-1$, то группа изоморфизмов тора, натянутого на сферу, эквивалентна группе $SU(n)$. В качестве иллюстрации тора, натянутого на сферу, приведем следущее отображение тора $S^1\times S^1$ на сферу $S^2$:
$ $\begin{cases} x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\ x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\ x_3=\sin\varphi \end{cases},$$
где $0\leq\varphi,\vartheta<2\pi$. А для наглядного представления движений тора, натянутого на сферу, вида $OTO$ можно предложить рассматривать тор с двумя касательными плоскостями в точках $o,o'$, вращение которых вокруг этих точек, эквивалентно вращениям тора по поверхности сферы.