Геометрия специальной унитарной группы

[bayak]

Речь не идёт о геометрии группы как многообразия, а о геометрии объекта, обладающего симметрией группы $SU(n)$. Я утверждаю, что этим объектом служит тор $\overbrace{S^1\times\cdots\times S^1}^{n}$, натянутый на сферу $S^{n}$.

Действительно, если под изоморфизмом тора, натянутого на сферу, понимать произвольную цепочку собственных движений тора и движений тора по сфере, то всякий такой изоморфизм может быть представлен некоторой конечной последовательностью движений $(O_{1}T_{1}O'_{1})(O_{2}T_{2}O'_{2})\ldots$, где $O_{i},O'_{i}$ -- произвольные элементы группы действительных унимодулярных ортогональных матриц $n$-го порядка $SO(n,\mathbb{R})$, с помощью которых мы вращаем тор по сфере вокруг точек $o_{i},o'_{i}$ соответственно, при этом точка $o'_{i}$ совпадает с точкой $o_{i+1}$, а $T_{i}$ -- произвольный элемент группы таких диагональных унимодулярных комплексных матриц $ST(n)$, что модули всех $n$ диагональных элементов равны единице, с помощью которого мы сдвигаем центр тора $o_{i}$ в точку $o'_{i}$. А поскольку $O_{i}T_{i}O'_{i}\in SU(n)$ и размерность связанного произведения групп $SO(n)ST(n)SO(n)$ совпадает с размерностью группы $SU(n)$, то группа изоморфизмов тора, натянутого на сферу, совпадает с группой $SU(n)$. В качестве иллюстрации тора, натянутого на сферу, приведем следующее отображение тора $S^1\times S^1$ на сферу $S^2$:
$\begin{cases} x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\ x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\ x_3=\sin\varphi \end{cases},$
где $0\leq\varphi,\vartheta<2\pi$.

[g______d]

bayak в сообщении #671186 писал(а):

размерность связанного произведения групп $SO(n)ST(n)SO(n)$ совпадает с размерностью группы $SU(n)$

Что такое связанное произведение групп?

[EvilPhysicist]

bayak в сообщении #671186 писал(а):

а о геометрии объекта, обладающего симметрией группы $SU(n)$

В смысле? Вы хотите взять многообразие $M$; построить изоморфизм $SU(n)$ в группу диффеоморфизмов $M$ на само себя; посмотреть, что из себя представляет $M$? Так?

bayak в сообщении #671186 писал(а):

Я утверждаю, что этим объектом служит тор $\overbrace{S^1\times\cdots\times S^1}^{n}$, натянутый на сферу $S^{n}$.

Может глупые вопросы, но:
1) Как вы определяете $n$ мерный тор?
2) Почему думаете, что $\overbrace{S^1\times\cdots\times S^1}^{n}$ - тор?
3) Что такое тор, натянутый на сферу?

И вы можете в дальнейшем использовать более короткие предложения. Длинные предложения не только трудно понимать, но и цитировать.

bayak в сообщении #671186 писал(а):

если под изоморфизмом тора, натянутого на сферу, понимать произвольную цепочку

Подождите, определение изоморфизма чего угодно на чего угодно уже есть и понимать "под ним" ничего не нужно.

bayak в сообщении #671186 писал(а):

В качестве иллюстрации тора, натянутого на сферу, приведем следующее отображение тора $S^1\times S^1$ на сферу $S^2$:
$\begin{cases} x_1=\cos\varphi\cos\vartheta\\ x_2=\cos\varphi\sin\vartheta\\ x_3=\sin\varphi \end{cases},$
где $0\leq\varphi,\vartheta<2\pi$.

Так, тор - $S^1\times S^1$ - двумерен, сфера $S^2$ - тоже. В левой части написанной вами системы три независимых координаты, которые ни тор, ни сферу, не описывают.

[Munin]

bayak в сообщении #671186 писал(а):

Речь не идёт о геометрии группы как многообразия, а о геометрии объекта, обладающего симметрией группы $SU(n)$.

Такой симметрией обладают:
- сама группа $SU(n)$;
- её представления;
- произведения вышеперечисленного на что угодно.
Так что в геометрию самой группы вопрос упирается так или иначе.

То, что вы написали - далеко не геометрия самой группы, а гораздо более простая какая-то штуковина.

-- 13.01.2013 20:48:23 --

Munin в сообщении #671217 писал(а):

То, что вы написали - далеко не геометрия самой группы, а гораздо более простая какая-то штуковина.

Беру свои слова обратно. То, что вы написали - вообще не геометрический объект.

[g______d]

EvilPhysicist в сообщении #671212 писал(а):

2) Почему думаете, что $\overbrace{S^1\times\cdots\times S^1}^{n}$ - тор?

Ну это-то как раз по определению,

http://en.wikipedia.org/wiki/Torus#n-dimensional_torus

EvilPhysicist в сообщении #671212 писал(а):

Так, тор - $S^1\times S^1$ - двумерен, сфера $S^2$ - тоже. В левой части написанной вами системы три независимых координаты, которые ни тор, ни сферу, не описывают.

Сфера (единичная) вложена в $\mathbb R^3$, отображение записано в этих координатах.

Не очень хочется защищать ТС (поскольку он очень любит уходить от ответов), просто хочется быстрее добраться до реальных проблем.

[EvilPhysicist]

g______d в сообщении #671225 писал(а):

Не очень хочется защищать ТС

Я не защищаю ТС. Просто хочу сам разобраться, а тут такая возможность.

[g______d]

(Оффтоп)

EvilPhysicist в сообщении #671227 писал(а):

Я не защищаю ТС. Просто хочу сам разобраться, а тут такая возможность.

Я имел в виду, что я "защищаю" ТС, отвечая за него на Ваши вопросы :)

-- 13.01.2013, 21:42 --

bayak в сообщении #671186 писал(а):

А поскольку $O_{i}T_{i}O'_{i}\in SU(n)$ и размерность связанного произведения групп $SO(n)ST(n)SO(n)$ совпадает с размерностью группы $SU(n)$, то группа изоморфизмов тора, натянутого на сферу, совпадает с группой $SU(n)$.

Пусть $G$ --- конечная группа, пусть $\{e\}\subset G$ --- подгруппа, состоящая только из единичного элемента. Поскольку $e\in G$ и размерности $\{e\}$ и $G$ совпадают (обе равны нулю), то группа $\{e\}$ совпадает с группой $G$.

-- 13.01.2013, 21:49 --

--------------

Я вообще не понял, при чем здесь какое-то натягивание. Рассматриваются отдельно симметрии тора, и отдельно симметрии сферы. Потом из них с помощью каких-то непонятно заданных операций (то ли прямое произведение, то ли свободное произведение) составляется $SU(n)$, причем, видимо, неправильно.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #671227 писал(а):

Я не защищаю ТС. Просто хочу сам разобраться, а тут такая возможность.

Это можно, самому разобраться, но тогда вам надо будет тщательно игнорировать словеса ТС, и общаться независимо с g______d, fizeg, lek, Xaositect и другими специалистами...

[Xaositect]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #671275 писал(а):

Это можно, самому разобраться, но тогда вам надо будет тщательно игнорировать словеса ТС, и общаться независимо с g______d, fizeg, lek, Xaositect и другими специалистами...

Я в этот ряд незаслуженно поставлен. Я не специалист, а мимокрокодил, я вообще изначально дискретчик, но по теме в аспирантуре пришлось разбираться с базовой алгебраической геометрией и теорией представлений классических групп

[g______d]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #671348 писал(а):

Munin в сообщении #671275 писал(а):

Это можно, самому разобраться, но тогда вам надо будет тщательно игнорировать словеса ТС, и общаться независимо с g______d, fizeg, lek, Xaositect и другими специалистами...

Я в этот ряд незаслуженно поставлен. Я не специалист, а мимокрокодил, я вообще изначально дискретчик, но по теме в аспирантуре пришлось разбираться с базовой алгебраической геометрией и теорией представлений классических групп

Я, конечно, тем более не специалист. Но до вопросов, известных только специалистам, эта тема дойдет не скоро :).

[Munin]

(Оффтоп)

Xaositect в сообщении #671348 писал(а):

Я в этот ряд незаслуженно поставлен. Я не специалист, а мимокрокодил, я вообще изначально дискретчик, но по теме в аспирантуре пришлось разбираться с базовой алгебраической геометрией и теорией представлений классических групп

Приношу извинения :-) Но вы участвовали в той теме, где я задавал вопросы по представлениям...

[migmit]

В общем-то, главный вопрос - что подразумевается под "совойтором, натянутым на глобуссферу"?

[Munin]

В общем-то, как и раньше - ничего внятного.

Как я понял, bayak в своей "иллюстрации" хочет объект, обладающий симметриями тора $T^2=S^1\times S^1,$ сферы $S^2,$ и никакими другими (группа симметрии - прямое произведение групп симметрии тора и сферы). Он декларирует, что такими свойствами обладает отображение $f\colon T^2\to S^2,$ заданное приведёнными формулами. Их можно иначе записать как:
$\left[\begin{array}{ll}\left\{\begin{array}{l}\varphi=\alpha_1\\\theta=\alpha_2,\end{array}\right.&\qquad\text{при }\alpha_2<\pi\\\left\{\begin{array}{l}\varphi=\alpha_1+\pi\\\theta=2\pi-\alpha_2,\end{array}\right.&\qquad\text{при }\alpha_2\geqslant\pi\end{array}\right.$
где $\alpha_{1,2}$ - угловые координаты на окружностях, произведением которых является тор, $\varphi,\theta$ - сферические координаты на сфере.
Очевидно, это отображение такими симметриями не обладает.

Насколько я могу понять, такими симметриями могут обладать пространство $T^2\times S^2,$ расслоения $T^2\times S^2\to S^2,$ $T^2\times S^2\to T^2,$ и тому подобные объекты.

[bayak]

g______d в сообщении #671197 писал(а):

Что такое связанное произведение групп?

Прошу пардону, имелось ввиду свободное произведение групп $SO(n)\ast ST(n)\ast SO(n)$.

Что касается некорректности равенства $SU(n)=SO(n)\ast ST(n)\ast SO(n)$, то было бы интересно увидеть от Вас какую-нибудь подгруппу $SU(n)$, имеющую размерность самой группы, т.е. $n^2-1$.

migmit в сообщении #671991 писал(а):

В общем-то, главный вопрос - что подразумевается под "совойтором, натянутым на глобуссферу"?

Представьте это чудище в виде векторного поля (потока) на торе, лежащем в тонком слое шара, идеализацией которого является сфера.

[g______d]

bayak в сообщении #672037 писал(а):

Что касается некорректности равенства $SU(n)=SO(n)\ast ST(n)\ast SO(n)$, то было бы интересно увидеть от Вас какую-нибудь подгруппу $SU(n)$, имеющую размерность самой группы, т.е. $n^2-1$.

Что это за стиль изложения? Вы сформулировали утверждение, вы его и доказывайте. Слушатели имеют права этого от вас потребовать, а не вы от них --- контрпримеров.

Что касается некорректности равенства, то свободное произведение двух групп Ли при любом разумном определении имеет бесконечную размерность и не может быть конечномерной группой Ли. Потому что размерность растет с увеличением длин рассматриваемых цепочек образующих.