Релятивистская квантовая теория

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #652112 писал(а):

а кроме того, имеет две нелокализованных степени свободы

Нелокализоанные степени свободы это четкое определение или просто отражение того факта, что они есть везде и не зависят от граничных условий задачи?

Munin в сообщении #652112 писал(а):

Чтобы это было поле, которое в каждой точке может быть в двух состояниях, надо записать

И каждое $\psi_1$,$\psi_2$ должно удовлетворять уравнению Клейна-Гордона и тем уравнениям, что мы получим из варьирования действия?
И принципиально допускается, что $\psi_1\not = \psi_2$?

Alex-Yu в сообщении #652140 писал(а):

И что такое двухкомпонентый вектор-столбец, свернутый с матрицей Дирака размером 4х4?

Опечатке. Там должны стоять матрицы Паули.

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #652143 писал(а):

Опечатке. Там должны стоять матрицы Паули.

А лоренц-инвариантность при этом есть? Вроде раньше не было.... Напишите закон лоренц-преобразования для таких спиноров, оставляющий такое действие инвариантным. Получится, на сколько я понимаю, не должно. Вот если выкинуть массовый член, то можно. Двухкомпонентность тогда будет описывать как раз спин, точнее его проекцию на направление движения (спиральность называется). А вот для массивного поля этот номер не пройдет по простой причине: массивную частицу можно обогнать, при этом спиральность меняется на противоположную (двигаться же она станет в противоположную сторону). Дирак совсем не от нечего делать придумал четырехкомпонентные спиноры! Он долгое время пытался двухкомпонентными обойтись. А у него никак не получалось. Но может у Вас получится

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #652143 писал(а):

Нелокализоанные степени свободы это четкое определение или просто отражение того факта, что они есть везде и не зависят от граничных условий задачи?

Нет, это не термин, просто отражение того факта, что вы написали нэсколько нэ то, что такое волновая функция частицы со спином. Кстати, я тоже написал нэсколько нэ то, забыл, что лагранжиан лоренц-инвариантный, так что компонент должно быть не две, а четыре (если мы в спиноры Вейля не играем).

EvilPhysicist в сообщении #652143 писал(а):

И каждое $\psi_1$,$\psi_2$ должно удовлетворять уравнению Клейна-Гордона и тем уравнениям, что мы получим из варьирования действия?

Нет, они вместе удовлетворяют уравнению движения, поскольку в уравнении движения есть операторы, перемешивающие между собой компоненты $\psi_1,\psi_2.$
Это уравнение будет уравнением Дирака, в вашем случае, а не Клейна-Гордона.
И из варьирования действия как раз получается уравнение движения: Дирака, Клейна-Гордона, Максвелла, Прока и т. п.

EvilPhysicist в сообщении #652143 писал(а):

И принципиально допускается, что $\psi_1\not = \psi_2$?

Угу. Более того, это самый частый случай.

EvilPhysicist в сообщении #652143 писал(а):

Опечатке. Там должны стоять матрицы Паули.

Тогда в ваших обозначениях я вообще ничего не понимаю.

[fizeg]

Munin

Munin в сообщении #652055 писал(а):

А что скажете про фейнмановскую "Квантовая электродинамика"?

Быстро полистал сейчас. Боюсь, что все-таки устарела она. Хотя может быть и подойдет тем, кто с КЭД сталкивается "проходя мимо"

[espe]

EvilPhysicist в сообщении #652143 писал(а):

И каждое $\psi_1$,$\psi_2$ должно удовлетворять уравнению Клейна-Гордона и тем уравнениям, что мы получим из варьирования действия?

Если речь идёт о релятивистской теории свободных полей, то точнее сказать так: из уравнений, полученных варьированием действия, должно следовать, что поля удовлетворяют уравнению Клейна-Гордона.

[EvilPhysicist]

Правильно ли я понимаю, что матрицы Паули определяются условиями $\sigma_i \sigma _j=\delta_{ij} 1 +i \varepsilon_{ijk} \sigma_k $ и $\sigma_i^+=-\sigma_i $. При этом они определены не однозначно и по определению $\sigma_i=\sigma^i $?

Аналогично, матрицы Дирака определяются условиями $\gamma_\mu \gamma_\nu+ \gamma_\nu \gamma_\mu=2\eta_{\mu\nu} $, $\gamma_\mu^+=\gamma_\mu$, где $\eta_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(+---) $. И справедливо, что $\gamma^\mu=\gamma_\nu \eta^{\mu\nu} $?

[Munin]

Нет. Матрицы Паули, помимо сказанного, определяются однозначно, поскольку для них есть один стандартный фиксированный базис. Аналогично, стандартный фиксированный базис есть для матриц Гелл-Манна.

А для матриц Дирака сложилось несколько стандартных фиксированных базисов, прежде всего два (базис Дирака и базис Вейля, или "стандартный" и "хиральный"). Оба удобны, в разных случаях, поэтому унификации и не происходит.

[EvilPhysicist]

Для проверки,

Матрицы Паули
$\begin{matrix}\sigma_0=E & \sigma_1=\begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix} & \sigma_2=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix} & \sigma_3=\begin{pmatrix}1 & 0\\0 &-1\end{pmatrix} \end{matrix}$.

Матрицы Гелл-Манна
$\begin{matrix}\lambda_1=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} & \lambda_2=\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}&\lambda_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix} &\lambda_4=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix} \\ \lambda_5=\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix} & \lambda_6=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix} & \lambda_7=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix} & \lambda_8=\cfrac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}\end{matrix}$

Одно из представлений матриц Дирака
$\begin{matrix} \gamma^0=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} & \gamma^\mu=\begin{pmatrix} 0&\sigma^\mu \\ -\sigma_\mu &0\end{pmatrix} & \gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix} & \gamma^{\mu\nu}=\cfrac12 \left(\gamma^\mu \gamma^\nu-\gamma^\nu\gamma^\mu\right) \end{matrix}$

[Munin]

http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matr ... sentations

Вы привели матрицы Дирака в базисе Вейля. В базисе Дирака
$\gamma^0=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\quad\gamma^i=\begin{pmatrix}0&\sigma^i\\-\sigma^i&0\end{pmatrix}\quad\gamma^5=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\quad$

Дэталь: греческий индекс ($\mu$) пробегает четыре пространственно-временных индекса, латинский ($i$) - только три пространственных. Никакой $\sigma_0$ в природе не существует, базис группы $SU(2)$ состоит из трёх генераторов $i\sigma_i.$ Матрица $\gamma^5$ - тоже не член базиса, просто удобное сокращение.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #673182 писал(а):

Вы привели матрицы Дирака в базисе Вейля. В базисе Дирака

А все соотношения для $\gamma^0, \gamma^5$ в разных базисах будут одинаковыми?
В смысле, правая/левая компонента спиноры в базисе Вейля $\psi_{R/L}=\cfrac12 (1\pm\gamma^5) \psi$. Они будут такими же в базисе Дирака?

[lek]

EvilPhysicist скачайте (например, здесь) книгу "Квантовая теория поля" (Ициксон К. Зюбер Ж.-Б.). Там в приложении (к тому 2) найдете ответы на (почти) все ваши вопросы...

[Munin]

Сурово-то как. Можно было "Квантовые поля" Боголюбова-Ширкова посоветовать...

[EvilPhysicist]

lek в сообщении #673197 писал(а):

скачайте (например, здесь) книгу "Квантовая теория поля" (Ициксон К. Зюбер Ж.-Б.)

Скачаю

Munin в сообщении #673273 писал(а):

Можно было "Квантовые поля" Боголюбова-Ширкова посоветовать...

Она у меня есть, только в издании, где все ссылки на формулы перепутаны.

[lek]

Сравнил... Все же в книге Ициксона-Зюбера справка по матрицам Дирака лучше организована, да и полнее, имхо...

[Munin]

Уговорили... Хотя это как из пушки по воробьям. Ициксона-Зюбера всего прочитать - кандидатом станешь...