Релятивистская квантовая теория

[EvilPhysicist]

Пытаюсь разобраться с релятивистской квантовой теорией. Под релятивистской понимается как кванты в СТО, так и в ОТО.

Буду благодарен, если кто-нибудь поможет с литературой по данной тематике? Особенно интересуют книги для которых справедливо как минимум одно из утверждений:
1)Написана позднее 1980 года
2)Используются в основном обозначения Дирака
3)Содержит хоть сколько-нибудь разобранные примеры
Так же буду благодарен, если поможете с литературой, где спин разбирается больше с математической точки зрения.

Так же есть несколько вопросов по релятивистским квантам:
1) В той литературе, которая мне попадалась, функция Гамильтона вводилась как $ H= \pi \partial_t \phi -L $, где $L$ - лагранжиан, $\phi$ - полевые переменные, $\pi$ - сопряженные им импульсные переменные.

Но такой подход не очень-то релятивистски инвариантен, потому что время выделяется явно.
Это можно исправить, если определить Гамильтониан как $H= \cfrac{\pi^\mu \partial_\mu \phi}{\sqrt{-g}} -L $. При этом получаются и скобки Пуассона и уравнения Гамильтона.

Делал ли кто-нибудь что-то подобное, и если делал то где?

2) Правильно ли я понимаю, что для описания не релятивистского спина волновую функцию заменяют с "обычной" комплексной функции на комплексную функцию умноженную на матрицу $ 2\times 1 $ и спин начинает описываться элементами пространства $\mathbb C^2$. При этом строят гомоморфизм группы вращения пространства в группу вращений спинового пространства $\mathbb C^2$.

И как при этом строят релятивистский спин?

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #651475 писал(а):

Буду благодарен, если кто-нибудь поможет с литературой по данной тематике? Особенно интересуют книги для которых справедливо как минимум одно из утверждений:
1)Написана позднее 1980 года

Зачэм?

КТП без СТО практически не бывает (бывают методы КТП в ФТТ, но часто они там заимствованы из КТП ФЭЧ). КТП в ОТО - намного более редкая тема, и требует как минимум хорошего уровня в КТП и ОТО по отдельности.

EvilPhysicist в сообщении #651475 писал(а):

1) В той литературе, которая мне попадалась, функция Гамильтона вводилась как...
Но такой подход не очень-то релятивистски инвариантен

Функция Гамильтона - сама по себе штука не очень-то релятивистски-инвариантная, и поэтому явно-лоренцинвариантный подход опирается на функцию Лагранжа. Функция Лагранжа - 4-скаляр, а Гамильтона - 0-компонента 4-вектора энергии-импульса, так что понятно, что для лоренц-ковариантности ей нужно в компанию ещё 3 функции импульса.

EvilPhysicist в сообщении #651475 писал(а):

И как при этом строят релятивистский спин?

Используют представления не группы вращений, а группы Лоренца, включающей в себя бусты. При этом получаются несколько разных спиноров для одного значения спина: спинор Дирака, спинор Майораны, спинор Вейля. Например, для значения спина 1/2 получается 4 или 2 комплексных числа (и двузначное представление). Экспериментально выяснено, что все фермионы СМ - спиноры Дирака (кроме нейтрино, для которых не до конца ещё закрыты другие варианты).

[pohius]

Рамон П. - Теория поля. Современный вводный курс 1984
Я эту сейчас читаю. На мой вкус хорошая книга.

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #651627 писал(а):

Зачэм?

Во-первых, у меня создалось впечатление, что написанные до этого времени книги с обозначениями Дирака встречаются крайне редко. А мне они нравятся больше, и в них записи компактнее. Во-вторых, с 80х, если я не ошибаюсь, экспериментально нашил чуть ли не половину кварков из СМ и доказали наличие массы у нейтрино. Всё-таки не хотелось бы на 30 лет отставать от текущего положения дел.

Munin в сообщении #651627 писал(а):

Используют представления не группы вращений, а группы Лоренца, включающей в себя бусты.

То есть строят гомоморфиз $SO(4)$ в $SU(2)$ и $SU(4)$?

pohius в сообщении #651644 писал(а):

Рамон П. - Теория поля. Современный вводный курс 1984
Я эту сейчас читаю. На мой вкус хорошая книга.

Видел её, но только в варианте, напечатанном на машинке. И разве там есть квантовая теория? Мне думалось, что там только классика.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #651646 писал(а):

Во-первых, у меня создалось впечатление, что написанные до этого времени книги с обозначениями Дирака встречаются крайне редко.

Вроде, обозначения Дирака стали практически повсеместными с 1948 года где-то.

EvilPhysicist в сообщении #651646 писал(а):

А мне они нравятся больше, и в них записи компактнее.

Надо уметь разговаривать на всех языках.

EvilPhysicist в сообщении #651646 писал(а):

Во-вторых, с 80х, если я не ошибаюсь, экспериментально нашил чуть ли не половину кварков из СМ и доказали наличие массы у нейтрино. Всё-таки не хотелось бы на 30 лет отставать от текущего положения дел.

На основы КТП это всё повлияло крайне мало - это всё экспериментальные успехи, подтвердившие теоретические модели, сформулированные к середине 70-х, основанные на КЭД 1948 года, Янге-Миллсе 1954 года, механизме Хиггса 1964 года, квантовании Фаддеева-Попова 1967 года, перенормировке 'т Хоофта 1972 года. Разобраться с основами теории вы можете, вообще не залезая в неабелевы варианты - одной КЭД достаточно.

EvilPhysicist в сообщении #651646 писал(а):

То есть строят гомоморфиз $SO(4)$ в $SU(2)$ и $SU(4)$?

Не гомоморфизм, а представление, и $SO(1,3),$ а не $SO(4).$ Или даже $Spin(1,3).$

EvilPhysicist в сообщении #651646 писал(а):

Видел её, но только в варианте, напечатанном на машинке. И разве там есть квантовая теория? Мне думалось, что там только классика.

Бог с вами, книжка начинается с квантования фейнмановским интегралом по траекториям, какая классика?

[EvilPhysicist]

Munin в сообщении #651791 писал(а):

Надо уметь разговаривать на всех языках.

Надо. Но сначала надо научиться разговаривать по крайней мере на одном.

Munin в сообщении #651791 писал(а):

Не гомоморфизм, а представление, и $SO(1,3),$ а не $SO(4).$ Или даже $Spin(1,3).$

$SO(1,3) $ - это группа, сохраняющая скалярное произведение в пространстве с метрикой $\operatorname{diag}(-+++) $?

Munin в сообщении #651791 писал(а):

Бог с вами, книжка начинается с квантования фейнмановским интегралом по траекториям, какая классика?

Значит я её слишком мельком посмотрел.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #651821 писал(а):

$SO(1,3) $ - это группа, сохраняющая скалярное произведение в пространстве с метрикой $\operatorname{diag}(-+++) $?

Да. И заодно - в пространстве с метрикой $(+---).$

EvilPhysicist в сообщении #651821 писал(а):

Значит я её слишком мельком посмотрел.

Да там всё в оглавлении написано.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #651791 писал(а):

EvilPhysicist в сообщении #651646 писал(а):
То есть строят гомоморфиз $SO(4)$ в $SU(2)$ и $SU(4)$?

Не гомоморфизм, а представление, и $SO(1,3),$ а не $SO(4).$ Или даже $Spin(1,3).$

Ну если сделать виковский поворот, то SO(4) и получится. Хотя если быть пуристом, то Вы правы. Любое представление это гомоморфизм, так что это возражение несколько бессодержательно. Ну и все относящееся к этому очень хорошо изложено у Вайнберга в первом томе "Квантовой теории поля". Книжка Рамона хорошая, но уж очень вводная. Систематическое изложение это упомянутый Вайнберг и Пескин и Шредер. Последнюю я лишь просматривал, обстоятельно не читал, но сложилось впечатление, что это лучшая книга из существующих. И вполне при этом "новая".

-- Пт ноя 30, 2012 17:40:16 --

EvilPhysicist в сообщении #651475 писал(а):

Так же буду благодарен, если поможете с литературой, где спин разбирается больше с математической точки зрения.

Вот как раз упомянутый Вайнберг. Ближе к началу первого тома.

[EvilPhysicist]

Alex-Yu в сообщении #651927 писал(а):

Систематическое изложение это упомянутый Вайнберг и Пескин и Шредер

Пескин, Шредел, это такая здоровенная книга "Введение в квантовую теорию поля"?
Я я тоже просматривал, тоже сложилось впечатление, что они очень хорошая, но при этом там как-то с места в карьер.
А про Вайберга - спасибо, посмотрю.

Munin, а то, что вы написали про спин, где-нибудь ещё, именно с теоретико-групповой точки зрения рассматривается, кроме упомянутого выше Вайберга?

[fizeg]

Alex-Yu в сообщении #651927 писал(а):

Систематическое изложение это упомянутый Вайнберг и Пескин и Шредер. Последнюю я лишь просматривал, обстоятельно не читал, но сложилось впечатление, что это лучшая книга из существующих.

Я соглашусь, что это наверное действительно лучшая книга. Если планируется серьезно погрузиться в КТП, я бы посоветовал читать ее. И если бумажный вариант усваивается лучше, не жалеть денег, его купить, благо сейчас есть русский перевод. Впрочем в этом случае Вайнберга тоже ни в коем случае нельзя пропустить, но учиться по нему все-таки проблематично (он еще довольно странные любит обозначения вводить), это скорее книжка для углубления понимания.

А Рамон действительно очень вводный и весьма нестрогий во многих вопросах

-- 30.11.2012, 15:37 --

EvilPhysicist в сообщении #651646 писал(а):

Видел её, но только в варианте, напечатанном на машинке. И разве там есть квантовая теория? Мне думалось, что там только классика.

Я думаю вас смутило повсеместное применение функционального интеграла. Такая классическая казалось бы штука как действие в КТП еще используется

[Alex-Yu]

fizeg в сообщении #651954 писал(а):

А Рамон действительно очень вводный и весьма нестрогий во многих вопросах

Из вводных я бы еще порекомендовал Зи "Квантовая теория поля в двух словах". Вполне новая. Книга очень специфическая, годится только для первоначального нестрого знакомства с предметом (хотя и толстая, но зато легко читается). Всегда полезно предварительно узнать "за что идет битва". И уж только потом "ввязываться в битву".

[Munin]

Alex-Yu
fizeg
А что скажете про фейнмановскую "Квантовая электродинамика"?

[EvilPhysicist]

А если переходить к более конкретным вопросам, правда не совсем по квантовой теории поля.

Пусть есть система с лагранжианом $ L= i \psi^+ \gamma^\mu \partial_\mu \psi +m \psi^+ \psi $, где $\psi=\psi(t,x,y,z) \begin{pmatrix} s_1\\ s_2 \end{pmatrix}$ и причем $s_1,s_2$ - комплексные числа, на зависящие от координат.
Верно ли, что это действие должно описывать поле, которое в каждой точек может быть в двух состояниях. И при переходе к квантовой теории из этого действия получатся частицы, которые могут быть в двух состояниях, которые будут аналогичны спину?

Соответственно, это действие инвариантно группе поворотов состояния $\psi$, то есть группы $SU(2)$. Соответственно, повороту пространства состояний $\psi$ с параметрами $\phi_k$ можно поставить в соответствие линейный оператор $U(\phi_k)=\exp(\cfrac{i}{2}\sigma_k \phi_k)$, где $\sigma_k $ - оператор, умножающий всё, на что действует, на $k$-тую матрицу Паули.

Но тогда по теореме Нётер, должен быть сохраняющийся ток $j^\mu=\cfrac{\partial L}{\partial \partial_\mu \psi} \sum\limits_{k=1}^3 \cfrac{i}{2} \sigma_k \psi $.

Будет ли этот ток иметь какое-нибудь отношение к спину?

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #652098 писал(а):

Верно ли, что это действие должно описывать поле, которое в каждой точек может быть в двух состояниях.

Нет, это поле, которое в каждой точке в одном состоянии, а кроме того, имеет две нелокализованных степени свободы. Чтобы это было поле, которое в каждой точке может быть в двух состояниях, надо записать
$\psi=\begin{pmatrix}\psi_1(x,y,z,t)\\\psi_2(x,y,z,t)\end{pmatrix}.$

[Alex-Yu]

EvilPhysicist в сообщении #652098 писал(а):

Пусть есть система с лагранжианом $ L= i \psi^+ \gamma^\mu \partial_\mu \psi +m \psi^+ \psi $, где $\psi=\psi(t,x,y,z) \begin{pmatrix} s_1\\ s_2 \end{pmatrix}$ и причем $s_1,s_2$ - комплексные числа, на зависящие от координат.

И что такое двухкомпонентый вектор-столбец, свернутый с матрицей Дирака размером 4х4? Вообще-то известно, что двухкомпонентные спиноры в релятивистком случае возможны только для безмассовых полей. Вейлевские спиноры называются.

-- Пт ноя 30, 2012 23:58:14 --

Munin в сообщении #652055 писал(а):

А что скажете про фейнмановскую "Квантовая электродинамика"?

Ничего, не помню. Вроде читал когда-то очень давно... В любом случае, хоть Фейнман и гений, но наука (и ее изложение) не стоит на месте.