Оценки количества некоторых групп чисел среди простых чисел

[vicvolf]

Продолжение

В отличии от бесконечного интервала (асимптотики) на конечном интервале [$k+1,x$) функции: $\int_{k+1}^{x}{\frac {C_k dt} {\ln^k(x)}}, \sum_{n=k+1}^{N}{\frac {C_k} {\ln^k n}},$ (где N=[x]-целая часть х с недостатком) дают ошибку в оценке количества простых к-кортежей на данном интервале.
Покажу, что относительная ошибка указанных оценок с ростом х убывает.
Сначала рассмотрим оценки количества простых близнецов $k=2$ на интервале [$3,x$).
При $x=10^5$ реальное количество простых близнецов на данном интервале - 1224. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 1249. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 1247 (относительная ошибка оценки - 1,87%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 1248 (относительная ошибка оценки - 1,96%).
При $x=10^6$ реальное количество простых близнецов на данном интервале - 8169. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 8248. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 8246 (относительная ошибка оценки - 0,94%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 8247 (относительная ошибка оценки - 0,95%).
При $x=10^7$ реальное количество простых близнецов на данном интервале - 58980. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 58754. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 58752 (относительная ошибка оценки - 0,39%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 58753 (относительная ошибка оценки - 0,38%).
При $x=10^8$ реальное количество простых близнецов на данном интервале - 440312. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 440368. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 440366 (относительная ошибка оценки - 0,01%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 58753 (относительная ошибка оценки - 0,01%).
Теперь рассмотрим оценки количества простых кортежей (2,4) для $k=3$ на интервале [$4,x$).
При $x=10^5$ реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 259. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 279. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 273 (относительная ошибка оценки - 5,41%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 274 (относительная ошибка оценки - 5,79%).
При $x=10^6$ реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 1393. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 1446. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 1440 (относительная ошибка оценки - 3,37%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 1441 (относительная ошибка оценки - 3,45%).
При $x=10^7$ реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 8543. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 8591. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 8585 (относительная ошибка оценки - 0,50%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 8586 (относительная ошибка оценки - 0,50%).
При $x=10^8$ реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 55600. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 55491. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 55485 (относительная ошибка оценки - 0,20%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 55486 (относительная ошибка оценки - 0,20%).
Таким образом, из данных результатов видно, что относительная ошибка приведенных оценок с ростом х убывает.

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Примечание

Вычисление количества простых к-кортежей на больших интервалах непосредственным подсчетом среди простых чисел достаточно трудоемкая задача даже на компьютере.
Вычисление количества простых к-кортежей на больших интервалах с помощью определенногго интеграла и конечной суммы: $\int_{k+1}^{x}{\frac {C_k dt} {\ln^k(x)}}, \sum_{n=k+1}^{N}{\frac {C_k} {\ln^k n}},$ (где N=[x]-целая часть х с недостатком) значительно менее трудоемкая задача, которую можно даже решить с помощью онлайновых программ в Интернете, что я и делал в сообщении от 15.01.2013.
Конечно указанный интеграл не вычисляется в элементарных функциях, но выражается через интегральный логарифм и гамма функцию. которые табулированы.
Пусть $I_k (x)=(-lnx)^k ( lnx)^{-k} \gamma (1-k, - lnx)$.
Тогда:
$C_{k}\int_{k+1}^{x}{\frac {dt} { \ln^k t}=C_{k}[I_k (x)-I_k(k+1)].(18)$
Для k=2 формула (18) имеет более простой вид:
$C_{2}\int_{3}^{x}{\frac {dt} { \ln^2 t}=C_{2}[Li(x)-x/ \ln(x)-Li(3)+3/ \ln3],$ (19)
где $C_{2}$ в формуле (19) равно 1,32...

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #672815 писал(а):

Вычисление количества простых к-кортежей на больших интервалах непосредственным подсчетом среди простых чисел достаточно трудоемкая задача даже на компьютере.
Вычисление количества простых к-кортежей на больших интервалах с помощью определенногго интеграла и конечной суммы: $\int_{k+1}^{x}{\frac {C_k dt} {\ln^k(x)}}, \sum_{n=k+1}^{N}{\frac {C_k} {\ln^k n}},$ (где N=[x]-целая часть х с недостатком) значительно менее трудоемкая задача, которую можно даже решить с помощью онлайновых программ в Интернете, что я и делал в сообщении от 15.01.2013.

Притом интересно, что с ростом интервала трудоемкость вычисления количества простых кортежей непосредственным подсчетом среди простых чисел возрастает. С другой стороны относительная ошибка определения количества простых кортежей с помощью определенного интеграла и конечной суммы с возрастанием интервала убывает, как показано в сообщении от 15.01.2013.

[vicvolf]

Продолжение

Рассмотрим следствия доказанных ранее утверждений.
Пусть последовательность f(n) имеет асимптотическую плотность на интервале натурального ряда [$A,\infty$) - $P(f,A,\infty)$ с функцией плотности F(x), определенной на том же интервале, тогда асимтотическое количество членов данной последовательности на интервале [$A,\infty$) - $\pi(f,A,\infty)$ равно:
$\pi(f,A,\infty)=F(A)+F(A+1)+...+F(x)+...=\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}.$
Следовательно, $\pi(f,A,\infty)$ является площадью прямоугольников с основанием равным 1 и с высотой равной $F(A+i)$ на интервале [$A,\infty$).
Для функции асимптотической плотности последовательности f(n) в натуральном ряде F(x) выполняется неравенство $F(x)\leq 1$, поэтому она принимает дробные значения и соответственно $\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}$ также может принимать дробные значения.
Так как асимптотическое количество членов последовательности $\pi(f,A,\infty)$ является натуральным числом, то:
$\pi(f,A,\infty)=[\sum_{i=0}^{\infty}{F(A+i)}],(20)$ где [A]- целое значение А с недостатком.

Следствие утверждения 3
В утверждении 3 доказано, что ряд $C_k\sum_{n=k+1}^{\infty}{1/ \ln^k n}$ расходится, поэтому расходится и $[C_k\sum_{n=k+1}^{\infty}{1/ \ln^k n}]$, величина которого максимум отличается на 1.

Следствие утверждения 4
На основании утверждения 4 $[\sum_{i=1}^{\infty}{F(i)}]-[\int_{A}^{\infty}{F(t)dt}]\leq [C]+1$, где С постоянная зависящая от функции асимптотической плотности F(x).

Следствие утверждения 6
Для функции $F(x)=1/\ln^k(x)$ на интервале [$k+1,\infty$) на основании утверждения 6: $[C]+1 =[0,6202F(k+1)]+1.$ Поэтому, используя утверждение 4, получаем:$[\sum_{i=1}^{\infty}{F(i)}]-[\int_{k+1}^{\infty}{F(t)dt}]\leq [0,6202F(k+1)]+1.$

Для примеров из сообщения 11.01.2013 величина $[0,6202F(k+1)]=0$, поэтому разность - $[\sum_{i=1}^{\infty}{F(i)}]-[\int_{k+1}^{\infty}{F(t)dt}]$ не превосходит 1 (один кортеж), что подтверждено в сообщении от 15.01.2013.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Продолжение

Выводы:

1.В утверждении 1 (сообщение от 19.12.12) доказано, что асимптотическая плотность несоставных k-кортежей ПСВm в натуральном ряде равна средней плотности несоставных k-кортежей ПСВm в натуральном ряде на интервале от 1 до m.

2. В утверждении 2 (сообщение от 21.12.12) показано, что асимптотическая плотность несоставных простых k-кортежей в натуральном ряде определяется по формуле $C_k/ \ln^k(x),$ где $C_k$- постоянная.

3. В утверждении 3 и следствии из него (сообщения от 24.12.12 и 20.01.13) доказано, что количество несоставных простых k-кортежей в натуральном ряде бесконечно. В частном случае, для k=2, количество простых близнецов в натуральном ряде бесконечно.

4. В утверждении 4 и следствии из него (сообщения от 26.12.12 и 20.01.13) показано, что оценки количества несоставных простых k-кортежей в натуральном ряде через ряд и несобственный интеграл отличаются на постоянную.

5. В утверждениях 5 и 6 и следствии из него (сообщения от 03.01.13, 08.01.13 и 20.01.13) дана оценка постоянной, указанной в п.4, которая показывает, что оценки отличаются на малую величину, во многих случаях не превосходящую одного кортежа, поэтому обе оценки можно использовать.

6. В сообщении от 15.01.13 показано, что относительная ошибка оценки количества не составных простых k-кортежей в натуральном ряде на конечном интервале через конечную сумму и определенный интеграл с ростом длины интервала убывает.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

Уважаемые участники форума и модераторы!

Знаю, что многие из Вас интересуются проблемами простых чисел. Мне было бы очень мнтересно услышать Ваше мнение о данной работе.
Объем работы не велик, все нужные для ознакомления сообщения я указал в выводах. Основные математические выкладки в сообщении от 21.12.2012 были проверены Sonic 86, за что я ему очень благодарен. Я также благодарен vorvalm, Руст, shwedka, Droog_Andrey за участие в теме и многие полезные замечания и советы.
Ваше молчание расценю, как согласие с результатами работы и буду считать, что проблема близнецов в более общем случае с нахождением и доказательством асимптотического закона распределения несоставных простых K-кортажей и доказательством их бесконечного количества в натуральном ряду чисел мною решена.

С уважением vicvolf

[megamix62]

vicvolf в сообщении #675492 писал(а):

Уважаемые участники и буду считать, что проблема близнецов в более общем случае с нахождением и доказательством асимптотического закона распределения несоставных простых K-кортажей и доказательством их бесконечного количества в натуральном ряду чисел мною решена.

С уважением vicvolf

асимптотический закон распределения - это вероятность , что простое число находится в каких то пределах, но его там может и не быть ...

[vicvolf]

megamix62 в сообщении #679257 писал(а):

асимптотический закон распределения - это вероятность , что простое число находится в каких то пределах, но его там может и не быть ...

Количество простых кортежей на интервале не случайное, а вполне определенное число. Асимптотическое число кортежей - это количество кортежей на бесконечном интервале, поэтому оно также не является случайным. Для того, чтобы использовать вероятностные оценки надо доказать, что кортежи распределены на интервале случайным образом, а это задача посложнее.
Вы наверно имели в виду, что вероятность того, что достаточно большое x является простым числом равна $1/ \ln(x)$, но это только гипотеза и доказательство ее по трудоемкости сравнимо с гипотезой Римана. На самом деле $1/ \ln(x)$ является только асимптотической плотностью простых чисел.

[megamix62]

Цитата:

доказано,В частном случае, для k=2, количество простых близнецов в натуральном ряде бесконечно.

и чего общественность молчит Где овации

[Droog_Andrey]

http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #692857 писал(а):

http://mathworld.wolfram.com/PrimeConstellation.html

Вы эту ссылку на гипотезу Харди-Литлвуда уже давали. Что Вы этим сейчас хотели сказать?

[Droog_Andrey]

Мне показалось, я тогда забыл её дать. Извиняюсь, если повторился :)

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #693114 писал(а):

Мне показалось, я тогда забыл её дать. Извиняюсь, если повторился :)

Спасибо! Эта гипотеза подтверждает правильность моих выкладок.

[megamix62]

vicvolf в сообщении #671906 писал(а):

Продолжение

В отличии от бесконечного интервала (асимптотики) на конечном интервале [$k+1,x$) функции: $\int_{k+1}^{x}{\frac {C_k dt} {\ln^k(x)}}, \sum_{n=k+1}^{N}{\frac {C_k} {\ln^k n}},$ (где N=[x]-целая часть х с недостатком) дают ошибку в оценке количества простых к-кортежей на данном интервале.
Покажу, что относительная ошибка указанных оценок с ростом х убывает.
Сначала рассмотрим оценки количества простых близнецов $k=2$ на интервале [$3,x$).
При $x=10^5$ реальное количество простых близнецов на данном интервале - 1224. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 1249. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 1247 (относительная ошибка оценки - 1,87%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 1248 (относительная ошибка оценки - 1,96%).

При $x=10^5$ реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 259. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 279. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 273 (относительная ошибка оценки - 5,41%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 274 (относительная ошибка оценки - 5,79%).

Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.

При $x=10^5$ можно по подробнее...распишите Ваши расчеты для количества простых близнецов
и простых кортежей (2,4) откуда взялись значения

[shwedka]

vicvolf в сообщении #693145 писал(а):

Спасибо! Эта гипотеза подтверждает правильность моих выкладок.

Недоказанная гипотеза ничего подтвердить не может.