Продолжение
В отличии от бесконечного интервала (асимптотики) на конечном интервале [
) функции:
(где N=[x]-целая часть х с недостатком) дают ошибку в оценке количества простых к-кортежей на данном интервале.
Покажу, что относительная ошибка указанных оценок с ростом х убывает.
Сначала рассмотрим оценки количества простых близнецов
на интервале [
).
При
реальное количество простых близнецов на данном интервале - 1224. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 1249. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 1247 (относительная ошибка оценки - 1,87%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 1248 (относительная ошибка оценки - 1,96%).
При
реальное количество простых близнецов на данном интервале - 8169. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 8248. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 8246 (относительная ошибка оценки - 0,94%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 8247 (относительная ошибка оценки - 0,95%).
При
реальное количество простых близнецов на данном интервале - 58980. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 58754. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 58752 (относительная ошибка оценки - 0,39%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 58753 (относительная ошибка оценки - 0,38%).
При
реальное количество простых близнецов на данном интервале - 440312. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых близнецов на данном интервале - 440368. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых близнецов на данном интервале - 440366 (относительная ошибка оценки - 0,01%), а через конечную сумму, количество простых близнецов на данном интервале - 58753 (относительная ошибка оценки - 0,01%).
Теперь рассмотрим оценки количества простых кортежей (2,4) для
на интервале [
).
При
реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 259. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 279. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 273 (относительная ошибка оценки - 5,41%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 274 (относительная ошибка оценки - 5,79%).
При
реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 1393. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 1446. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 1440 (относительная ошибка оценки - 3,37%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 1441 (относительная ошибка оценки - 3,45%).
При
реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 8543. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 8591. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 8585 (относительная ошибка оценки - 0,50%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 8586 (относительная ошибка оценки - 0,50%).
При
реальное количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 55600. По формулам Харди-Литлвуда оценка количества простых кортежей (2,4) на данном интервале - 55491. По моим оценкам, через определенный интеграл, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 55485 (относительная ошибка оценки - 0,20%), а через конечную сумму, количество простых кортежей (2,4) на данном интервале - 55486 (относительная ошибка оценки - 0,20%).
Таким образом, из данных результатов видно, что относительная ошибка приведенных оценок с ростом х убывает.
Продолжение следует. Буду благодарен за замечания и предложения.