Подозреваю, что первое - это определение топологии в метрическом пространстве и термин "окрестность" там употребляется в другом смысле.
Спасибо. То есть изначально мы определяем топологию, как набор открытых множеств (для которых выполнены известные условия), а потом уже вводится понятие окрестности, которое определяется через эти самые открытые множества, которые мы изначально задали вот таким образом:
Пусть задано топологическое пространство

, где

— произвольное множество, а

— определённая на

топология. Множество

называется
окрестностью точки

, если существует
открытое множество 
такое, что

Правильно?