Окрестность, открытое множество.Какое из понятий- первичное?

[lampard]

Какое из этих понятий -- первичное (что через что определяется все-таки?), а то у меня в голове возник цикл...

1) Открытое множество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью.

2) Пусть задано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Множество $V \subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$, если существует открытое множество $U\in \mathcal{T}$ такое, что $x \in U \subset V$

[Xaositect]

Подозреваю, что первое - это определение топологии в метрическом пространстве и термин "окрестность" там употребляется в другом смысле.

[lampard]

Xaositect в сообщении #672641 писал(а):

Подозреваю, что первое - это определение топологии в метрическом пространстве и термин "окрестность" там употребляется в другом смысле.

Спасибо. То есть изначально мы определяем топологию, как набор открытых множеств (для которых выполнены известные условия), а потом уже вводится понятие окрестности, которое определяется через эти самые открытые множества, которые мы изначально задали вот таким образом:

Пусть задано топологическое пространство $(X,\mathcal{T})$, где $X$ — произвольное множество, а $\mathcal{T}$ — определённая на $X$ топология. Множество $V \subset X$ называется окрестностью точки $x\in X$, если существует открытое множество $U\in \mathcal{T}$ такое, что $x \in U \subset V$

Правильно?

[Xaositect]

Да.

-- Чт янв 17, 2013 08:08:28 --

Иногда(вроде бы, даже чаще) под окрестностью понимают только открытые множества, содержащие точку, а не их надмножества. Но если у Вас такое определение, то да.

[lyuk]

Это вопрос типа "Что появилось раньше: курица или яйцо?"

На самом деле, существуют разные подходы к топологизации множества: с помощью понятия открытых множеств, операции взятия внутренности множества, понятия замкнутых множеств, операции замыкания, понятия окрестности.

Например, если на множестве вводится понятие окрестности (которые удовлетворяют соответственным условиям-аксиомам), то открытое множество -- это множество, которое является окрестностью каждой своей точки. А если на множестве задается топология (открытые множества), то окрестность точки -- это множество которое содержит открытое множество содержащее даную точку.

Т.о. ваш вопрос -- бессмыслен, без определенной процедуры топологизации множества.