Когда гладкое отображения является инъективным?

[alcoholist]

theambient в сообщении #633619 писал(а):

Где про это можно почитать? Не совсем понятно как односвязность образа влияет на глобальную инъективность.

Пусть $X$ и $B$ хорошие пространства

локальный гомеоморфизм $p:X\to B$ позволяет "поднять" любой путь в образе в прообраз, причем единственным образом, т.е.

$$ \forall f:[0;1]\to B\quad \forall x\in p^{-1}(f(0))\quad \exists! F:[0;1]\to X\quad\mbox{что}\quad F(0)=x,\quad pF=f $$

если пути $f$ и $g$ гомотопны, то гомотопию тоже можно поднять и получить $F(1)=G(1)$.

Если $B$ односвязно, то все пути гомотопны. Фиксируем точку $b\in B$ и положим $f_y:[0;1]\to B$ -- путь, соединяющий $b$ и $y\in B$. Если $F_y:[0;1]\to X$ -- поднятие этого пути, то

отображение $q:B\to X$, действующее по правилу $q(y)=F_y(1)$ -- гомеоморфизм



это называется "теория накрытий"

[theambient]

alcoholist, спасибо!

[ewert]

alcoholist в сообщении #633051 писал(а):

в случае односвязности образа и связности самого пространства такое отображение д.б. диффеоморфизмом

$r\in(1;2),\ \varphi\in(0;4\pi);\ \ x=r\cos\varphi,\ y=r\sin\varphi+\frac{\varphi}4$. Где дырка в образе?...

[alcoholist]

ewert в сообщении #633668 писал(а):

Где дырка в образе?...

а это не инъективное отображение?

[ewert]

alcoholist в сообщении #633679 писал(а):

а это не инъективное отображение?

Нет, конечно. Замените там для наглядности $\frac{\varphi}4$ на $\varepsilon\varphi$, где $\varepsilon$ -- маленькое число. Если $\varepsilon=0$, то образ промежутка $\{r\in(1,2),\;\varphi=\mathrm{const}\}$ по мере увеличения угла многократно зачерчивает кольцо. Если же теперь взять $\varepsilon$ маленьким положительным, то это кольцо потихонечку поползёт вверх и рано или поздно ту дырку съест.

[DLL]

ewert, поясните почему образ односвязен. Вот, например, точка $x=0, y=0$ явно не принадлежит образу!

[Someone]

DLL в сообщении #634470 писал(а):

ewert, поясните почему образ односвязен. Вот, например, точка $x=0, y=0$ явно не принадлежит образу!

Принадлежит. Но выбор параметров неудачен, "дырка" всё-таки есть.

Однако принцип работает, нужно только чуть аккуратнее подобрать параметры: $r\in(1,2)$, $\varphi\in(0,6\pi)$, $x=r\cos\varphu$, $y=r\sin\varphi+\frac{\varphi}7$.

[DLL]

Цитата:

Принадлежит.

Недосмотрел, действительно принадлежит при $\varphi = 3 \pi / 2, r = 3 \pi / 2$.

Цитата:

Однако принцип работает, нужно только чуть аккуратнее подобрать параметры

Так. А инъективность будет ли при этом?

[Someone]

DLL в сообщении #635207 писал(а):

А инъективность будет ли при этом?

А Вы прямо по картинке не видите?

[alcoholist]

alcoholist в сообщении #633051 писал(а):

локально инъективное гладкое отображение является накрытием

вот это я погорячился)))

[DLL]

Может какие-то еще условия необходимо добавить?
Было бы интересно их узнать...

[g______d]

Интересно, а что если вместо областей компактные двумерные многообразия? Например, будет ли контрпримером образующая группы $\pi_2(S^2)$ (я не знаю, как устроено это отображение, можно ли его сгладить и если да, то можно ли это сделать, чтобы дифференциал был невырожденным)?

-- 17.01.2013, 20:49 --

Видимо, нельзя.

[Someone]

g______d в сообщении #672870 писал(а):

образующая группы $\pi_2(S^2)$ (я не знаю, как устроено это отображение

По-моему, это просто тождественное отображение сферы на себя.

[alcoholist]

g______d в сообщении #672870 писал(а):

не знаю, как устроено это отображение, можно ли его сгладить и если да, то можно ли это сделать, чтобы дифференциал был невырожденным

любое непрерывное отображение гомотопно гладкому, по крайней мере для компактных многообразий

g______d в сообщении #672870 писал(а):

образующая группы $\pi_2(S^2)$

о гладкости там речи не идет

[g______d]

Someone в сообщении #672939 писал(а):

По-моему, это просто тождественное отображение сферы на себя.

Да, я ступил. Я как раз хотел нетривиальный элемент. Похоже, что он гомотопен гладкому отображению, но вряд ли дифференциал последнего будет невырожден.