2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение21.10.2012, 16:20 
Аватара пользователя
theambient в сообщении #633619 писал(а):
Где про это можно почитать? Не совсем понятно как односвязность образа влияет на глобальную инъективность.


Пусть $X$ и $B$ хорошие пространства

локальный гомеоморфизм $p:X\to B$ позволяет "поднять" любой путь в образе в прообраз, причем единственным образом, т.е.
$$
\forall f:[0;1]\to B\quad \forall x\in p^{-1}(f(0))\quad \exists! F:[0;1]\to X\quad\mbox{что}\quad F(0)=x,\quad pF=f
$$
если пути $f$ и $g$ гомотопны, то гомотопию тоже можно поднять и получить $F(1)=G(1)$.

Если $B$ односвязно, то все пути гомотопны. Фиксируем точку $b\in B$ и положим $f_y:[0;1]\to B$ -- путь, соединяющий $b$ и $y\in B$. Если $F_y:[0;1]\to X$ -- поднятие этого пути, то

отображение $q:B\to X$, действующее по правилу $q(y)=F_y(1)$ -- гомеоморфизм



это называется "теория накрытий"

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение21.10.2012, 16:41 
Аватара пользователя
alcoholist, спасибо!

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение21.10.2012, 17:09 
alcoholist в сообщении #633051 писал(а):
в случае односвязности образа и связности самого пространства такое отображение д.б. диффеоморфизмом

$r\in(1;2),\ \varphi\in(0;4\pi);\ \ x=r\cos\varphi,\ y=r\sin\varphi+\frac{\varphi}4$. Где дырка в образе?...

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение21.10.2012, 17:27 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #633668 писал(а):
Где дырка в образе?...



а это не инъективное отображение?

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение21.10.2012, 18:30 
alcoholist в сообщении #633679 писал(а):
а это не инъективное отображение?

Нет, конечно. Замените там для наглядности $\frac{\varphi}4$ на $\varepsilon\varphi$, где $\varepsilon$ -- маленькое число. Если $\varepsilon=0$, то образ промежутка $\{r\in(1,2),\;\varphi=\mathrm{const}\}$ по мере увеличения угла многократно зачерчивает кольцо. Если же теперь взять $\varepsilon$ маленьким положительным, то это кольцо потихонечку поползёт вверх и рано или поздно ту дырку съест.

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение22.10.2012, 21:56 
Аватара пользователя
ewert, поясните почему образ односвязен. Вот, например, точка $x=0, y=0$ явно не принадлежит образу!

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение22.10.2012, 23:05 
Аватара пользователя
DLL в сообщении #634470 писал(а):
ewert, поясните почему образ односвязен. Вот, например, точка $x=0, y=0$ явно не принадлежит образу!
Принадлежит. Но выбор параметров неудачен, "дырка" всё-таки есть.
Изображение

Однако принцип работает, нужно только чуть аккуратнее подобрать параметры: $r\in(1,2)$, $\varphi\in(0,6\pi)$, $x=r\cos\varphu$, $y=r\sin\varphi+\frac{\varphi}7$.
Изображение

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение24.10.2012, 16:45 
Аватара пользователя
Цитата:
Принадлежит.

Недосмотрел, действительно принадлежит при $\varphi = 3 \pi / 2, r =  3 \pi / 2$.

Цитата:
Однако принцип работает, нужно только чуть аккуратнее подобрать параметры

Так. А инъективность будет ли при этом?

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение24.10.2012, 20:01 
Аватара пользователя
DLL в сообщении #635207 писал(а):
А инъективность будет ли при этом?
А Вы прямо по картинке не видите?

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение17.01.2013, 01:26 
Аватара пользователя
alcoholist в сообщении #633051 писал(а):
локально инъективное гладкое отображение является накрытием


вот это я погорячился)))

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение17.01.2013, 19:03 
Аватара пользователя
Может какие-то еще условия необходимо добавить?
Было бы интересно их узнать...

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение17.01.2013, 19:11 
Аватара пользователя
Интересно, а что если вместо областей компактные двумерные многообразия? Например, будет ли контрпримером образующая группы $\pi_2(S^2)$ (я не знаю, как устроено это отображение, можно ли его сгладить и если да, то можно ли это сделать, чтобы дифференциал был невырожденным)?

-- 17.01.2013, 20:49 --

Видимо, нельзя.

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение17.01.2013, 22:09 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #672870 писал(а):
образующая группы $\pi_2(S^2)$ (я не знаю, как устроено это отображение
По-моему, это просто тождественное отображение сферы на себя.

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение17.01.2013, 22:30 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #672870 писал(а):
не знаю, как устроено это отображение, можно ли его сгладить и если да, то можно ли это сделать, чтобы дифференциал был невырожденным


любое непрерывное отображение гомотопно гладкому, по крайней мере для компактных многообразий

g______d в сообщении #672870 писал(а):
образующая группы $\pi_2(S^2)$


о гладкости там речи не идет

 
 
 
 Re: Когда гладкое отображения является инъективным?
Сообщение18.01.2013, 00:42 
Аватара пользователя
Someone в сообщении #672939 писал(а):
По-моему, это просто тождественное отображение сферы на себя.


Да, я ступил. Я как раз хотел нетривиальный элемент. Похоже, что он гомотопен гладкому отображению, но вряд ли дифференциал последнего будет невырожден.

 
 
 [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group