Окрестность точки x

[Radar]

Помогите, пожалуйста, решить задачу: Верно ли, что в любой окрестности точки $ x = 1 $ можно найти хотя бы одно из чисел $ \cos n $, где $n \in \mathbb{N}$
Как я понял, нужно доказать, что какую бы окрестность ни выбрали, мы можем найти такое число, что это число равняется $ \cos n $. то есть нужно доказать, что такое n вообще существует.
Нужна ваша помощь)

[AKM]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[SpBTimes]

Покажите, что $\cos(n)$ всюду плотно заполняет отрезок $[-1;1]$, получите ваше утверждение

[xmaister]

Здесь принцип Дирихле. В Арнольде - быкновенные дифференциальные уравнения это есть (стр. 150 вроде). Искать точно лень, по
тому напишу идею: очевидно, что косинусы плотны на $[-1,1]\iff e^{in}$ плотно на $\mathbb{S}^1\subset\mathbb{C}$. Разобьем это сферу на $k$ частей и настряпаем $k+1$ членов последовательности $e^{in}$, тогда существует $l\ne j, l,j\le k$, такие что $e^{il},e^{ij}$ лежат в одной из $k$ частей. Размножьте теперь $e^{in}$ так, чтобы в каждой из $k$ частей попало хотя бы один $e^{in}$.

P.S. Верно что и $\cos {n^k}$ плотны для всех натуральных $k$, но здесь, вероятно, без ссылок на р.р.мод1 не обойтись.

(Оффтоп)

Кстати, а почему не существует предела $\cos n!,n\to\infty$?

[SpBTimes]

А зачем комплексная экспонента?
Достаточно показать, что $n \mod(2 \pi)$ всюду плотно заполняет $[0; 2\pi]$. Возьмем единичную окружность и выберем на ней дугу $L$. Предположим, что она не содержит натуральных углов. Будем сдвигать и строить дуги $L + 1$, $L + 2$, $\cdots$, $L + k$, $\cdots$. Они тоже не содержат натуральных углов. Причем эти дуги не совпадают, но пересекаются. Таким образом покроем всю окружность, что невозможно.

[xmaister]

SpBTimes в сообщении #672192 писал(а):

Достаточно показать, что $n \mod(2 \pi)$ всюду плотно заполняет $[0; 2\pi]$.

Достаточно, а при чем здесь окружность? Отрезок и окружность не гомеоморфны. Затупил, понятно при чем.

SpBTimes в сообщении #672192 писал(а):

Причем эти дуги не совпадают, но пересекаются. Таким образом покроем всю окружность, что невозможно.

Почему?

-- 16.01.2013, 10:10 --

SpBTimes в сообщении #672192 писал(а):

А зачем комплексная экспонента?

Когда впервые решал сие задачу, мне поясняли именно так. Ну и формально, проекция $\mathrm{Re}:\mathbb{C}\to\mathbb{R}$- непрерывна. Ограничение $\mathrm{Re}|_{\mathbb{S}^1}:\mathbb{S}^1\to\mathbb{R}$- непрерывно. А образ всюду плотного при отображении "на"- всюду плотный. Вот она и комплексная экспонента.

[SpBTimes]

xmaister в сообщении #672196 писал(а):

Отрезок и окружность не гомеоморфны.

это и не нужно

xmaister в сообщении #672196 писал(а):

Почему?

Не совпадают в силу иррациональности $2\pi$, начинают пересекаться в силу того, что длина окружности конечна.

[xmaister]

SpBTimes в сообщении #672201 писал(а):

начинают пересекаться в силу того, что длина окружности конечна.

Да, это я понял. А почему всю покроем в конечном итоге?

[SpBTimes]

А это разве не следует из иррациональности? Ведь иначе начнут совпадать дуги. Или я туплю?

[xmaister]

Мне это не очевидно.

[ex-math]

Вопрос ТС это теорема Дирихле в чистом виде: для любого $\tau$ найдутся натуральные $n$ и $m$ такие, что $|2\pi m-n|\leqslant1/\tau$.

[xmaister]

ex-math
Так Ваше утверждение следует из плотности. Или можно доказывать, не ссылаясь предварительно на плотность?

[SpBTimes]

xmaister

Что-то строго пока не придумал, как обосновать

[ex-math]

Да, плотность уже будет следствием.

Как и у Вас применяется принцип Дирихле. Если $\tau$ -- натуральное, то промежуток $[0,1)$ разбивают на $\tau$ равных частей. Из чисел $\{2\pi\cdot0\},\{2\pi\cdot1\},\dots,\{2\pi\cdot\tau\}$ какие-то два лежат в одном промежутке, разность их "номеров" и будет $m$.

[xmaister]

ex-math
А есть ли что-нибудь подобное для $|2\pi m-n^2|$? Тут можно будет обойтись без ссылок на ррмод1?