ОЛИМПИАДА НГУ

[TOTAL]

laptop в сообщении #637403 писал(а):

даже как-то не удобно спросить, но что такое грань волчка?

Я себе представляю это как правильную треугольную пирамиду с маленьким основанием, на боковых гранях которой нарисованы цифры $1,2,3.$ Если вершину пирамиды упереть в стеклянный стол (основание строго вверх!) и затем уронить пирамиду, то одной из боковых граней она уляжется на стол. Остается залезть под стол и увидеть выпавшую на примыкающей к поверхности прозрачной столешницы грани цифру. Перед ронянием пирамиды её можно раскрутить как волчек.

[ewert]

Волчок -- он такой треугольный из картона, проткнутый спичкой. А грань -- один из маленьких треугольничков с вершиной на спичке.

[TR63]

Н2. Определить все действительные значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение $x^3+qx^2+4=0$ имеет три различных действительных корня.
$x^3+qx^2+4={(x+(\frac2 3)q)^2}(x-(\frac1 3)q)+(\frac{4} {27}q^3+4)=0$
Из анализа количества перемен знака в исходном уравнении ясно, что для наличия трёх различных действительных корней должно быть $q<0$
1). $-3<q<0$, $ x<\frac1 3q<0$ (сумма равна нулю, если одно слагаемое положительно, другое отрицательно.)
Т.е. либо три корня отрицательны(противоречит условию устойчивости), либо один отрицательный и два комплексных. Не подходит.
2). $q<-3, x>\frac1 3q$. Т.е. существует положительный корень. При существовании их количесто равно двум.
Вывод: $q<-3$.

-- 01.11.2012, 14:00 --

Мне не ясно пока существование положительного корня.

[ewert]

TR63 в сообщении #638697 писал(а):

Мне не ясно пока существование положительного корня.

Тривиально: $q\leqslant-3$.

[TR63]

ewert,
я читала Ваше доказательство. Не понимаю, как использовать монотонность. Подумаю.

-- 01.11.2012, 14:53 --

Поняла.

[Shadow]

TR63, все совершенно стандартно. У функции два экстремума - в т. 0 и $-2q/3$ И т.к $f(0)>0$ необходимо и достаточно, чтобы $f(-2q/3)<0$. И все.

[mihiv]

4.$S_{\min }=2$.Для того,чтобы корни располагались в вершинах квадрата, должно быть либо два комплексных и два действительных корня, либо все четыре корня комплексные.
Рассмотрим первый случай.Корни можно записать в виде:$a_1=x-y,a_2=x+y,a_3=x+iy,a_4=x-iy.$ Очевидно $y$ равно половине диагонали квадрата, а площадь квадрата равна $S=2y^2$. Найдем коэффициенты $C_i$ при $z^i.C_0=x^4-y^4,C_1=-4x^3,C_2=6x^2,C_3=-4x.$ Т.к. по условию коэффициенты $C_3$ и $C_2$ целые, приходим к выводу, что $x$ целое число, а значит и $y$ целое, минимальное значение площади получим при $y=1,S_{\min }=2.$
Аналогично в случае четырех комплексных корней получим $S_{\min }=2$.

[TR63]

Shadow в сообщении #638737 писал(а):

TR63, все совершенно стандартно. У функции два экстремума - в т. 0 и ... И т.к необходимо и достаточно, чтобы... . И все.

Shadow,
изящно.
[off]Достаточность того, что $q<-3$, можно доказать ещё тривиальнее, если заметить аналогию с теоремой Гурвица. Т.е. достаточно доказать существование положительного корня при $q<-3$ в одной точке, например, при $q=-3$. Этим я хочу сказать, что исходная задача является ещё одной иллюстрацией к моей гипотезе "о построении правдоподобных гипотез". И всё. Что я могу ещё сказать. Правда, не стандартно и гипотетично. [\off]

[Arcanine]

А кто может подсказать, с чего можно начать доказательство 4-ой задачи для 2-4 курсов?

[Shadow]

Arcanine в сообщении #671157 писал(а):

А кто может подсказать, с чего можно начать доказательство 4-ой задачи для 2-4 курсов?

Ну, например рогами вперьед. Представить произведение как сумма (сумма косинусов). Получится $\frac 1 2 (\cos{\frac{\pi}{5}}+\cos{\frac{2\pi}{5}})$. Дальше находим $\cos{\frac{\pi}{5}}$ исходя из $\sin{2x}=\sin{3x}$ Получится уравнение
$4t^2-2t-1=0$, где $t=\cos{\frac{\pi}{5}}$
Нужно найти $\frac 1 2 (2t^2+t-1)$

[Arcanine]

Shadow а откуда взялось синус двух икс равное синусу трех икс?

[Praded]

$\dfrac{\pi}{5}=36^{\circ}$
$\sin 72^{\circ}=\sin 108^{\circ}$