Доказательство эквивалентности двух множеств.

[YgolovnicK]

Доброго времени суток. Необходимо доказать, что множества А={квадрат на плоскости} и В={правильный треугольник} эквивалентны. Я полагаю, что нужно доказать биекцию между элементами этих двух множеств, но не знаю как: графически крутил и так и эдак - у меня ничего не получилось, а о других способах представления пока не имею. Помогите, пожалуйста.

[arseniiv]

Попробуйте доказать равномощность каждого кругу.

[YgolovnicK]

Графически биективность доказывается: берется точка, и от нее проводятся бесконечно много прямых, пересекающих 2 точки в 2х фигурах. Но как сие действие произвести с разными по формфактору фигурами я не могу никак представить. Через теорему Кантора — Бернштейна попробовал - я не знаю, верно ли, но получилось следующее:
Размещаю круг, вписанный в треугольник, выше этого треугольника (в другой плоскости, плоскости треугольника и круга параллельны), беру бесконечно удаленную точку так, что она, при совмещении с соответствующими плоскостями, будет центром круга и треугольника - и провожу бесконечно много прямых из этой точки через круг и треугольник - получается, что круг является частью треугольника - множество точек круга есть часть множества точек треугольника.
Затем беру точку так, чтобы при проведении бесконечного числа линий из этой точки через треугольник и круг треугольник проецировался в круг так, чтобы был в него вписан (круг для этого беру побольше, чем в первой части), соответственно доказываю то, что множество треугольника является частью множества круга. После этого доказываю что множества двух кругов эквивалентны. Можно ли так сделать?

[INGELRII]

Много совершенно лишних действий. Вот возьмем треугольник, в нем обозначим первую попавшуюся точку буквой $O$ (например, точку пересечения медиан), и нарисуем окружность с центром в этой же точке $O$ и радиусом... неважно, на самом деле, каким. Возьмем его чисто для наглядности большим, чтобы треугольник целиком находился внутри круга. Из точки $O$ проведем луч в произвольном направлении, куда нам заблагорассудится. Границу треугольника этот луч пересечет, допустим, в точке $T$, границу круга в точке $K$. Теперь возникают следующие к вам вопросы:

Биекцию между этими двумя отрезками, $OT$ и $OK$ вы построить можете?

А если луч провести в каком-нибудь другом направлении, так что получатся отрезки $OT'$ и $OK'$ - между ними сможете построить биекцию?

А для произвольного луча? И, как следствие, для всех лучей сразу? А какое множество образуют все отрезки $OT$, образуемые лучами, идущими во всех возможных направлениях? И тот же вопрос для отрезков $OK$.

И, в итоге, для каких двух множеств мы и построили биекцию?



Ну и все то же самое проделать для квадрата.

[YgolovnicK]

Точно. Спасибо большое. Вписывал фигуры одну в другую, пока думал, как решить - но не доходило до меня, что можно доказать эквивалентность отрезков, я все думал, что так доказывается лишь эквивалентность множеств контуров (границ квадрата и окружности). Таким образом и окружность то не нужна - можно просто вписать квадрат в треугольник или наоборот и все. Спасибо огромное

[bot]

Задачка будет поинтересней, если квадрат и треугольник брать с внутренностями. Тогда лучше всё-таки

arseniiv в сообщении #671249 писал(а):

Попробуйте доказать равномощность каждого кругу.

[ewert]

bot в сообщении #671410 писал(а):

Задачка будет поинтересней, если квадрат и треугольник брать с внутренностями. Тогда лучше всё-таки

arseniiv в сообщении #671249 писал(а):

Попробуйте доказать равномощность каждого кругу.

Всё равно не обязательно, и не обязательно даже вписывать. Достаточно установить (в определённом смысле явным образом) биекцию для каждой пары отрезков, один из которых получается пересечением некоторого луча с треугольником, другой -- таким же образом направленного луча с квадратом. В общем, круг тут лишний.

[bot]

ewert в сообщении #671451 писал(а):

В общем, круг тут лишний

В итоге он, конечно, лишний, на как транзитный пункт удобен.

[YgolovnicK]

bot в сообщении #671410 писал(а):

Задачка будет поинтересней, если квадрат и треугольник брать с внутренностями.

Так и сделали, такова и стоит первоначальная задача - уже решил все=) от центра лучи к краям - доказываем эквивалентность отрезков, принадлежащих кругу и квадрату, берем их великое множество (бесконечность), и вот у нас треугольник и квадрат состоят из таких эквивалентных отрезков.

[bot]

YgolovnicK в сообщении #671875 писал(а):

Так и сделали

Там внутренние точки не рассматривались.

[YgolovnicK]

как же не рассматривались? если мы доказываем эквивалентность отрезков - эквивалентность множества точек, принадлежащих отрезку. Или я не прав?

[bot]

Каких отрезков?

[YgolovnicK]

впишем квадрат в треугольник. Обозначим центр треугольника(и, по совместительству, квадрата) точкой О. Проведем из точки О луч в любую сторону на плоскости, в которой лежат эти 2 фигуры. Этот луч пересечет сторону квадрата и треугольника в точке К и Т соответственно. Докажем эквивалентность отрезков ОК и ОТ. Далее уже по указанному ранее алгоритму.

[bot]

Ничего не понимаю. Как впишем и почему центр треугольника по совместительству станет центром квадрата?
И как бы то ни было, внутренние точки остались без рассмотрения.

[TOTAL]

Как-нибудь так.