Вопрос об эпсилон-сети

[gruppoid]

Не могу доказать следующее вспомогательное утверждение: если множество в метрическом пространстве не содержит конечную \varepsilon-сеть, то оно содержит бесконечное множество, все элементы которого отстоят друг от друга дальше, чем на 2\varepsilon.

Обратное довольно очевидно: это бесконечное множество не получится покрыть конечным числом \varepsilon-шаров. А вот с исходным утверждением проблема. Пробую доказать от противного. Если такого бесконечного подмножества не существует, то все подмножества, элементы которых попарно удалены друг от друга больше, чем на 2\varepsilon, конечны. Но ведь если число самих этих подмножеств бесконечно, то для их объединения \varepsilon-сеть может и не существовать... Я упускаю что-то очевидное? Или в моих рассуждениях ошибка?

[AGu]

Рассмотрите максимальное по включению подмножество, все элементы которого отстоят друг от друга дальше чем на $2\varepsilon$ (доказав, что такое множество существует, разумеется).

[gruppoid]

AGu в сообщении #671190 писал(а):

Рассмотрите максимальное по включению подмножество, все элементы которого отстоят друг от друга дальше чем на $2\varepsilon$

Не пойму, что именно Вы предлагаете. Максимальное по включению - имеется ввиду множество, не содержащееся ни в каком другом таком множестве? В каких предположениях Вы предлагаете его рассматривать - в предположениях исходного утверждения или доказательства от противного? (В последнем случае оно конечно.) И в том, и в другом случае мне неясно, что с этим делать...

[AGu]

gruppoid в сообщении #671199 писал(а):

Максимальное по включению - имеется ввиду множество, не содержащееся ни в каком другом таком множестве?

Ага.

gruppoid в сообщении #671199 писал(а):

В каких предположениях Вы предлагаете его рассматривать - в предположениях исходного утверждения или доказательства от противного? (В последнем случае оно конечно.)

А в первом -- бесконечно. Что и требовалось доказать.

[gruppoid]

Оно-то понятно, что если есть бесконечное множество с таким свойством, то и максимальное множество бесконечно. Только как доказать-то, что бекснонечное множество есть?

[AGu]

Не надо сразу доказывать, что есть бесконечное. Сначала докажите, что есть максимальное. (Я это и предлагал с самого начала.) А потом докажите, что оно бесконечное.

[Someone]

gruppoid в сообщении #671178 писал(а):

Не могу доказать следующее вспомогательное утверждение: если множество в метрическом пространстве не содержит конечную \varepsilon-сеть, то оно содержит бесконечное множество, все элементы которого отстоят друг от друга дальше, чем на 2\varepsilon.

Ничего удивительно, что не можете. Это утверждение неверно. Контрпример - бесконечное метрическое пространство, в котором расстояние между любыми двумя различными точками равно $1$. И возьмите любое $\varepsilon\in(0{,}5;1)$.

P.S. Формулы следует окружать знаками доллара. Правила записи формул можно найти в темах http://dxdy.ru/topic45202.html, http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html.

[gruppoid]

Someone в сообщении #671261 писал(а):

Это утверждение неверно. Контрпример - бесконечное метрическое пространство, в котором расстояние между любыми двумя различными точками равно $1$. И возьмите любое $\varepsilon\in(0{,}5;1)$.

Хм, и правда. Как я раньше не подумал об этом, ведь этот контрпример напрашивается.

Это утверждение, кстати, использовалось одним заслуженным академиком для доказательства того, что компактное пространство полно. Он его просто сформулировал как очевидное. Видно, о чем-то другом думал.

Цитата:

P.S. Формулы следует окружать знаками доллара. Правила записи формул можно найти в темах http://dxdy.ru/topic45202.html, http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html.

ОК.

[Someone]

gruppoid в сообщении #671286 писал(а):

Это утверждение, кстати, использовалось одним заслуженным академиком для доказательства того, что компактное пространство полно. Он его просто сформулировал как очевидное. Видно, о чем-то другом думал.

Не вижу, зачем бы такое утверждение потребовалось для доказательства полноты метрического компактного пространства.
Пожалуйста, дайте точную ссылку на это доказательство.

[AGu]

А я -- на стороне академика. Там просто описка / опечатка / мелкий недогляд. (Двойка лишняя затесалась -- ну так уберите ее. ) Суть-то в другом. Простенькое, но симпатичное и полезное упражнение.

-- 2013.01.14 13:30 --

gruppoid в сообщении #671286 писал(а):

для доказательства того, что компактное пространство полно

Наверное, не "полно", а "вполне ограничено".

[gruppoid]

Someone в сообщении #671332 писал(а):

Не вижу, зачем бы такое утверждение потребовалось для доказательства полноты метрического компактного пространства.

Прошу прощения за путаницу, я не то доказательство упомянул. Он использовал его для доказательства того, что если в пространстве любая последовательность содержит фундаментальную подпоследовательность, то пространство содержит конечную $\varepsilon$-сеть (другими словами, вполне ограничено, как заметил AGu).

Цитата:

Пожалуйста, дайте точную ссылку на это доказательство.

В видеозаписи вот этой лекции: http://narod.ru/disk/356689001/3%20Hovanskii-lect%203-30-09-2010.mkv.html, из вот этого курса: http://mathtech.ru/content/%D0%B2%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B8-%D0%BD%D0%BC%D1%83-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7-1-%D1%82%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%80%D0%B8%D0%BD-%D0%B2-%D0%B0.

AGu в сообщении #671403 писал(а):

А я -- на стороне академика. Там просто описка / опечатка / мелкий недогляд. (Двойка лишняя затесалась -- ну так уберите ее. ) Суть-то в другом. Простенькое, но симпатичное и полезное упражнение.

Хотел возразить, что дело не в двойке, но подумал и понял, что таки в ней. ОК, как будет время, попробую доказать для $\varepsilon$ вместо $2\varepsilon$ (я математикой занимаюсь исключительно в качестве хобби).